Tussenwaardestelling

In de reëelwaardige analyse stelt de tussenwaardestelling dat een reële functie ${\displaystyle f}$, continu in een gesloten interval ${\displaystyle [a,b]}$, alle mogelijke waarden tussen ${\displaystyle f(a)}$ en ${\displaystyle f(b)}$ aanneemt. Dat heeft de volgende twee gevolgen:

• Het beeld van een interval van een continue functie is zelf ook weer een interval.
• De stelling van Bolzano: Een continue functie, die op een interval zowel een negatieve als een positieve waarde aanneemt, heeft op dat interval een nulpunt.

Stelling

De tussenwaardestelling kan op twee manieren worden geformuleerd.

Tussenwaardestelling voor een waarde

Zij ${\displaystyle f}$ een continue reëelwaardige functie op het interval ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle \gamma }$ een getal tussen ${\displaystyle f(a)}$ en ${\displaystyle f(b)}$, dus

${\displaystyle f(a)\leq \gamma \leq f(b)}$, indien ${\displaystyle f(a)\leq f(b)}$

of

${\displaystyle f(b)\leq \gamma \leq f(a)}$, indien ${\displaystyle f(b)\leq f(a)}$.

Dan bestaat er een ${\displaystyle c\in [a,b]}$ met ${\displaystyle f(c)=\gamma }$.

In het speciale geval dat ${\displaystyle \gamma =0}$ is het de stelling van Bolzano.

Tussenwaardestelling voor een interval

Zij ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle f}$ als boven. Dan komen alle waarden tussen ${\displaystyle f(a)}$ en ${\displaystyle f(b)}$ in ${\displaystyle f([a,b])}$ voor:

${\displaystyle [f(a),f(b)]\subseteq f([a,b])}$, indien ${\displaystyle f(a)\leq f(b)}$

of

${\displaystyle [f(b),f(a)]\subseteq f([a,b])}$, indien ${\displaystyle f(b)\leq f(a)}$

Voorbeeld

De functie ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ is continu op ${\displaystyle [0,2]}$. Inderdaad is bij iedere ${\displaystyle 0\leq c\leq 4}$ een ${\displaystyle 0\leq x\leq 2}$ te vinden met ${\displaystyle f(x)=c}$, namelijk ${\displaystyle x={\sqrt {c}}}$.