Stelling van von Staudt-Clausen

De stelling van von Staudt-Clausen is een stelling uit de getaltheorie over de Bernoulligetallen. De stelling is genoemd naar Karl von Staudt^[1] en Thomas Clausen, die ze onafhankelijk van elkaar formuleerden in 1840.

De stelling zegt dat, als bij het Bernouilligetal ${\displaystyle B_{n}}$ met positieve even index ${\displaystyle n}$ de reciproquen van alle priemgetallen ${\displaystyle p}$ optelt waarvoor ${\displaystyle p-1}$ een deler is van ${\displaystyle n}$, men een geheel getal verkrijgt:

${\displaystyle B_{n}+\sum _{(p-1)|n}{\frac {1}{p}}\quad \in \mathbb {Z} }$

Bijgevolg kan men de Bernouilligetallen ${\displaystyle B_{2k}(k\geq 1)}$ uitdrukken als:

${\displaystyle B_{2k}=A_{2k}-\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}}$

waarin ${\displaystyle A_{2k}}$ een geheel getal is.

Hieruit blijkt dat de noemer van het Bernouilligetal ${\displaystyle B_{n}}$ gelijk is aan het product van alle priemgetallen ${\displaystyle p}$ waarvoor ${\displaystyle p-1}$ een deler is van ${\displaystyle n}$. Deze noemers zijn kwadraatvrij en steeds een veelvoud van zes, vermits de priemgetallen 2 en 3 in elke som voorkomen.

De gehele getallen ${\displaystyle A_{2k}}$ voor ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$ zijn:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, −6, 56, −528, ...^[2]

Voorbeelden

${\displaystyle B_{6}=1-\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}\right)={\frac {1}{42}}}$

${\displaystyle B_{12}=1-\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{13}}\right)=-{\frac {691}{2730}}}$

Externe links

• (en) MathWorld, von Staudt-Clausen Theorem.