Multiplicatieve functie

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een multiplicatieve functie een rekenkundige functie ${\displaystyle f}$ gedefinieerd op de positieve gehele getallen met de eigenschappen:

${\displaystyle f(1)=1}$

en

${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ voor ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ die relatief priem zijn.

Van een rekenkundige functie ${\displaystyle f}$ zegt men dat deze volledig multiplicatief of totaal multiplicatief is, als tevens geldt dat ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ voor alle positieve gehele getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

Voorbeelden

• ${\displaystyle \varphi (n)}$, de indicator of het totiënt, het aantal positieve gehele getallen die relatief priem zijn met, maar niet groter dan, ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \mu }$, de möbiusfunctie, verbonden aan het aantal priemfactoren van kwadraatvrij gehele getallen
• ${\displaystyle \mathrm {ggd} (n,k)}$, de grootste gemene deler van ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle k}$ voor een vaste waarde van ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle d(n)}$, het aantal positieve delers van ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \sigma (n)}$, de som van alle positieve delers van ${\displaystyle n}$. Deze functie hangt samen met de aliquotsom ${\displaystyle s(n)}$ van ${\displaystyle n}$.
• ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$, de delingsfunctie, de som van de ${\displaystyle k}$-de machten van de positieve delers van ${\displaystyle n}$, waar ${\displaystyle k}$ een willekeurig complex getal kan zijn. In speciale gevallen is:
  • ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ en
  • ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=\sigma (n)}$