Identiteit van Euler

De identiteit van Euler, genoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, luidt:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Het is een speciaal geval van de formule van Euler:

e i x = cos ⁡ ( x ) + i ⋅ sin ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)}

Door π {\displaystyle \pi } in te vullen in deze vergelijking verkrijgt men namelijk

e i π = cos ⁡ ( π ) + i ⋅ sin ⁡ ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\cdot \sin(\pi )}
e i π = − 1 + i ⋅ 0 {\displaystyle e^{i\pi }=-1+i\cdot 0}

en dus

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

In navolging van Richard Feynman wordt de vergelijking e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} door wiskundigen wel De mooiste formule binnen de wiskunde genoemd, omdat zij zonder verdere opsmuk in zich herbergt:

  • De belangrijkste twee natuurlijke getallen: 0 en 1.
  • De belangrijkste drie wiskundige constanten: e, i en π.
  • De belangrijkste drie wiskundige bewerkingen: optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen.