Gelijkheid van Parseval

In de functionaalanalyse is de gelijkheid van Parseval, genoemd naar de Franse wiskundige Marc-Antoine Parseval, voor ruimten met een inproduct de generalisatie van de stelling van Pythagoras. De formule vindt vooral toepassing bij de orthogonale ontbinding in componenten, in het bijzonder bij Fouriertransformaties.

Gelijkheid

Laat ${\displaystyle V}$ een lineaire ruimte met inproduct ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ zijn en ${\displaystyle B}$ een orthonormale basis daarin, dan geldt voor elke ${\displaystyle v\in V}$ de gelijkheid van Parseval:

${\displaystyle \|v\|^{2}=\langle v,v\rangle =\sum _{b\in B}|\langle v,b\rangle |^{2}}$

Omgekeerd geldt dat een willekeurig orthonormaal stelsel slechts dan een basis is, als de gelijkheid van Parseval geldt.

Toepassing

De gelijkheid van Parseval is geldig voor kwadratisch integreerbare functies. Voor de Fourierreeks

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}}$

met coëfficiënten

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x}$

luidt de gelijkheid van Parseval:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

waarbij het linkerlid ook de energie van de functie f(x) genoemd wordt.

Zie ook

• Energiesignaal