F-ruimte

In de functionaalanalyse, een onderdeel van de wiskunde, is een F-ruimte een topologische vectorruimte waarop onder meer de open afbeeldingsstelling van toepassing is. F-ruimten zijn generalisaties van fréchet-ruimten.

Definitie

Een F-ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante metriek en die (als metrische ruimte) volledig is.[1]

Een metriek d : X × X → R + {\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} ^{+}} heet translatie-invariant als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector. Dus als voor alle x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X}

d ( x , y ) = d ( x + z , y + z ) {\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}

Deze definitie generaliseert die van een fréchet-ruimte, doordat geen lokale convexiteit meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij fréchet-ruimten, en andere nemen lokale convexiteit op in de definitie van een F-ruimte.[2]

Voorbeelden

Dit tweedimensionale model geeft een idee waarom de oneindigdimensionale L p {\displaystyle L^{p}} voor 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} niet lokaal convex zijn. De eenheidsbol in R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} voor de afstandsfunctie d ( x , y ) = ( x 1 − x 2 ) 2 / 3 + ( y 1 − y 2 ) 2 / 3 {\displaystyle d(x,y)=(x_{1}-x_{2})^{2/3}+(y_{1}-y_{2})^{2/3}} is een niet-convexe figuur afgebakend door een astroïde

Alle fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle banachruimten, zijn F-ruimten.

Voorbeelden van F-ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de L p {\displaystyle L^{p}} -ruimten van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} voor gegeven vaste p {\displaystyle p} met 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} .

De functie

d ( f , g ) = ∫ 0 1 | f ( x ) − g ( x ) | p d x {\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mathrm {d} x}

is een translatie-invariante metriek op L p {\displaystyle L^{p}} , en ( L p , d ) {\displaystyle (L^{p},d)} is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.[3]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. ↑ Hoofdstuk 3 in Banach, Stefan, "Théorie des opérations linéaires," Monografje Matematyczne deel 1, Warschau 1932.
  2. ↑ Paragraaf 1.8 in Rudin, Walter, "Functional Analysis," 2de uitgave McGraw Hill 1991. Rudin hanteert dezelfde terminologie als dit artikel maar waarschuwt voor de verschillen bij andere auteurs.
  3. ↑ Paragraaf 1.47 in Rudin, op. cit.