Elementaire symmetrische polynoom

In de wiskunde zijn de elementaire symmetrische polynomen de bouwstenen voor de symmetrische polynomen. Een symmetrische polynoom kan op precies één manier uitgedrukt worden in elementaire symmetrische polynomen.

Bij elk aantal onbekenden is er precies één elementaire symmetrische polynoom van graad ten hoogste gelijk aan dat aantal.

Definitie

De elementaire symmetrische polynomen in de ${\displaystyle n}$ onbekenden ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ zijn de coëfficiënten in de polynoom ${\displaystyle p(x)}$ in ${\displaystyle x}$, gegeven door:

${\displaystyle p(x)=(x+x_{1})(x+x_{2})\ldots (x+x_{n})=\sigma _{0}x^{n}+\sigma _{1}x^{n-1}+\sigma _{2}x^{n-2}+\ldots +\sigma _{n-1}x+\sigma _{n}}$

Expliciet:

${\displaystyle \sigma _{0}=1}$

${\displaystyle \sigma _{1}=x_{1}+\ldots +x_{n}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{n}=x_{1}\ldots x_{n}}$

De elementaire symmetrische polynoom ${\displaystyle \sigma _{k}}$ van de graad ${\displaystyle k}$ bestaat dus uit de som van alle verschillende producten van ${\displaystyle k}$ van de variablen.

Voorbeeld

Voor drie variabelen ${\displaystyle x,\,y}$ en ${\displaystyle z}$ zijn de elementaire symmetrische polynomen:

${\displaystyle \sigma _{0}=1}$

${\displaystyle \sigma _{1}=x+y+z}$

${\displaystyle \sigma _{2}=xy+xz+yz}$

${\displaystyle \sigma _{3}=xyz}$

Eigenschappen

• Een elementaire symmetrische polynoom is een homogene polynoom en alle termen hebben dezelfde graad.
• De elementaire symmetrische polynoom ${\displaystyle \sigma _{k}}$ in ${\displaystyle n}$ variabelen bestaat uit ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ termen.

• Hoofdstelling van de elementaire symmetrische polynomen:^[1] De stelling is van de hand van Joseph-Louis Lagrange, maar was al bij Isaac Newton bekend.

Iedere symmetrische polynoom kan op precies één manier uitgedrukt worden in elementaire symmetrische polynomen.

Toepassing

Bij berekeningen kan soms handig gebruikgemaakt worden van de elementaire symmetrische polynomen. Bijvoorbeeld:

• ${\displaystyle x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$
• ${\displaystyle x_{1}^{3}+\ldots +x_{n}^{3}=\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}}$
• ${\displaystyle x_{1}^{4}+\ldots +x_{n}^{4}=\sigma _{1}^{4}-4\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}+2\sigma _{2}^{2}+4\sigma _{1}\sigma _{3}-4\sigma _{4}}$

Literatuur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8e druk. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, hoofdstuk 4, par 4.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3e druk, Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, hoofdstuk III, §4.1.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2e druk, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, hoofdstuk IV, §3.3.

Referenties