Dirichletreeks

Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet, is in de wiskunde een reeks van de vorm:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

waarin ${\displaystyle s}$ en de coëfficiënten ${\displaystyle (a_{n})}$ complexe getallen zijn. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument ${\displaystyle s}$.

Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zèta-functie. Ze komen ook als voortbrengende functie voor.^[1]

Convergentie

De functie ${\displaystyle f}$ die bij gegeven ${\displaystyle a_{n}}$ bepaald wordt door de dirichletreeks:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$,

heeft alleen betekenis voor waarden van ${\displaystyle s}$ waarvoor de reeks convergent is.

Is de rij ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ begrensd, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin ${\displaystyle \Re (s)>1}$. De functie ${\displaystyle f}$ is op dat halfvlak dan een analytische functie.

De riemann-zèta-functie

Als ${\displaystyle a_{n}=1}$ voor alle ${\displaystyle n}$, ontstaat de riemann-zèta-functie

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$,

die voor ${\displaystyle s=1}$ de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van ${\displaystyle s}$ de hyperharmonische reeksen.