Cardioïde

 cardioïde

x ( t ) = 2   ( 1 − cos ⁡ t ) cos ⁡ t + 1 {\displaystyle x(t)=2\ (1-\cos t)\cos t+1}
y ( t ) = 2   ( 1 − cos ⁡ t ) sin ⁡ t {\displaystyle y(t)=2\ (1-\cos t)\sin t}

De cardioïde of hartkromme is een wiskundige kromme in het platte vlak, een cycloïde die ontstaat door een cirkel met straal r {\displaystyle r} rond een even grote cirkel te laten wentelen.

De cardioïde is de voetpuntskromme van een cirkel met als vast punt een punt op de omtrek van die cirkel.

Vergelijkingen

De cardioïde kan, zoals alle krommen, door een vergelijking worden beschreven. a {\displaystyle a} in de vergelijkingen is geen variabele, maar een constante die afhangt van de afmeting van de cardioïde.

Cartesische vergelijking

De cartesiaanse vergelijking voor de cardioïde luidt:

( x 2 + y 2 + 2 a x ) 2   =   4 a 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+2ax\right)^{2}\ =\ 4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Functietheorie

De cardioïde is het beeld van de cirkel met straal 1 om de imaginaire eenheid i van de complexe functie f : z → a z 2 {\displaystyle f:z\rightarrow az^{2}} .

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de cardioïde wordt gegeven door:

x ( t ) = a ( 2 cos ⁡ t − cos ⁡ 2 t ) {\displaystyle x(t)=a(2\cos t-\cos 2t)}
y ( t ) = a ( 2 sin ⁡ t − sin ⁡ 2 t ) {\displaystyle y(t)=a(2\sin t-\sin 2t)}

Dit kan, aan de hand van goniometrische gelijkheden worden herschreven tot:

x ( t ) = 2 a   ( 1 − cos ⁡ t ) cos ⁡ t {\displaystyle x(t)=2a\ (1-\cos t)\cos t}
y ( t ) = 2 a   ( 1 − cos ⁡ t ) sin ⁡ t {\displaystyle y(t)=2a\ (1-\cos t)\sin t}

Poolcoördinaten

De kromme wordt in poolcoördinaten beschreven als:

r ( θ ) = 2 a ( 1 − cos ⁡ θ ) {\displaystyle r(\theta )=2a(1-\cos \theta )}

waarbij θ {\displaystyle \theta } de parameter t {\displaystyle t} vervangt.

De cardioïden in de vergelijkingen hierboven komen met elkaar overeen, maar zijn 1 naar links geschoven ten opzichte van de cardioïde in de afbeelding. Voor de cardioïde in de afbeelding is a = 1 {\displaystyle a=1} .

Oppervlakte

De oppervlakte, omsloten door de kromme, wordt gegeven door:

A = 1 2 ∫ 0 2 π   r ( θ ) 2   d θ = 2 a 2 ∫ 0 2 π   ( 1 − cos ⁡ θ ) 2   d θ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\ r(\theta )^{2}\ d\theta =2a^{2}\int _{0}^{2\pi }\ (1-\cos \theta )^{2}\ d\theta }

wat kan worden herleid tot

A = 6 π a 2 {\displaystyle A=6\pi a^{2}}

Booglengte

De booglengte van de cardioïde met als poolcoördinaten

r ( θ ) = 2 a ( 1 − cos ⁡ θ ) {\displaystyle r(\theta )=2a(1-\cos \theta )}

is gelijk aan

L = 16 a {\displaystyle L=16a}

Websites

  • (en) MathWorld. Cardioid.