Algebraïsche onafhankelijkheid

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, noemt men de elementen ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in L}$ van een lichaamsuitbreiding ${\displaystyle L}$ van een lichaam/veld ${\displaystyle K}$ algebraïsch afhankelijk over ${\displaystyle K}$, als zij voldoen aan een niet-triviale polynoom met coëfficiënten in ${\displaystyle K}$. Is zo'n polynoom er niet dan heten de elementen algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle K}$.

Definitie

Laat ${\displaystyle L}$ van een lichaamsuitbreiding zijn van het lichaam/veld ${\displaystyle K}$. De elementen ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in L}$ heten algebraïsch afhankelijk over ${\displaystyle K}$, als er een polynoom ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle n}$ variabelen is, met coëfficiënten in ${\displaystyle K}$ en ongelijk aan het nulpolynoom, zodanig dat

${\displaystyle p(s_{1},\ldots ,s_{n})=0}$.

Is er niet zo'n polynoom, dan heten ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in L}$ algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle K}$.

Een eindige deelverzameling ${\displaystyle S\subseteq L}$ noemt men algebraïsch (on)afhankelijk over ${\displaystyle K}$, als de elementen van ${\displaystyle S}$ algebraïsch (on)afhankelijk zijn over ${\displaystyle K}$.

Een willekeurige deelverzameling ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle L}$ noemt men algebraïsch afhankelijk over ${\displaystyle K}$ als er een eindige deelverzameling van ${\displaystyle D}$ is die algebraïsch afhankelijk is over ${\displaystyle K}$. Is zo'n deelverzameling er niet dan heet ${\displaystyle D}$ algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle K}$.

Externe link

• (en) MathWorld, "Algebraically Independent". Gearchiveerd op 4 december 2021.