Fungsi gamma

Dalam matematik, Fungsi gamma mengembangkan fungsi faktorial kepada nombor kompleks dan bukan integer (ia telahpun ditakrifkan pada yang asli, dan mempunyai kutub ringkas pada integer negatif. fungsi faktorial bagi integer n ditulis sebagai n! dan bersamaab dengan hasil darab n! = 1 × 2 × 3 × ... × n. Fungsi gamma "mengisi" fungsi faktorial bagi bukan integer dan nilai kompleks bagi n. Jika z merupakan pemboleh ubah nyata, maka bagi nilai nombor asli sahaja, kita peroleh

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z!\,}$

tetapi bagi nilai bukan asli bagi z, persamaan di atas tidak boleh digunakan memandangkan fungsi faktorial tidak tertakrif.

Disebabkan fungsi gamma dan faktorial berkembang dengan cepat bagi hujah yang agak besar, banyak persekitaran pengiraan yang melibatkan fungsi ln(gamma) yang kembali kepada logaritma asli bagi fungsi gamma; ini berkembang lebih lambat, dan bagi gabungan pengiraan kombinatorial membenarkan penambahan dan penolakan log berbanding mendarab dan membahagi nilai yang sangat besar.

Takrifan

Notasi Γ(z) diambil sempena pencarian Adrien-Marie Legendre. Jika bahagian nyata nombor kompleks z adalah positif, maka kamirnya

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$

tertumpu secara mutlak. Dengan menggunakan pengkamiran mengikut bahagian, seseorang itu boleh menunjukkan

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.}$

Disebabkan Γ(1) = 1, hubungan ini menandakan

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}$

bagi nombor asli n.

Fungsi meromorfik bagi x dengan pola ringkas pada x = -n (n = 0, 1, 2, 3, ...) dan baki (-1)ⁿ/n!. ^[1] Ia boleh digunakan untuk mengembangkan Γ(z) kepada fungsi meromorfik yang ditarkif untuk semua nombor kompleks z kecuali z = 0,  −1, −2, −3, ... oleh sambungan analitik. Ia adalah versi tambahan yang merujuk kepada fungsi gamma.

Takrifan lain

Berikut adalah takrifan hasil darab tak terhingga bagi fungsi gamma, diambil daripada penemuan Euler dan Weierstrass, adalah sah bagi semua nombor kompleks z yang bukan negatif dan sifar

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}$

iaitu ${\displaystyle \gamma }$ adalah pemalar Euler-Mascheroni.

Ciri

Persamaan fungsi lain yang penting bagi Fungsi gamma adalah rumus pantulan Euler

${\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}$

dan rumus duplikasi

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Rumus duplikasi merupakan kes khas bagi teorem pendaraban

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).}$

Nilai fungsi gamma pada hujah bukan integer adalah

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$

yang boleh ditemui dengan menetapkan z=1/2 pada rumus pantulan atau dengan mengambil fungsi beta bagi (1/2, 1/2), iaitu ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$.

Terbitan bagi fungsi gamma diterangkan dalam terma fungsi poligamma. Contohnya:

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,}$

Fungsi gamma mempunyai pola bagi tahap 1 pada z = −n bagi setiap nombor asli n; baki diberikan oleh

${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$

Teorem Bohr-Mollerup menyatakan yang sepanjang semua fungsi yang mengembangkan fungsi faktorial bagi nombor nyata positif, hanya fungsi gamma adalah log-cembung, yang logaritma aslinya adalah cembung.

Notasi lain yang diperkenalkan oleh Gauss dan yang kadangkala digunakan fungsi pi, yang dalam terma fungsi gamma adalah

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),}$

jadi

${\displaystyle \Pi (n)=n!.\,}$

Dengan menggunakan fungsi pi, rumus pantulan mengambil bentuk

${\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\mathrm {sinc} (z)}}}$

yang sinc fungsi sinc yang dinormalkan, manakala teorem pendaraban mengambil bentuk

${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).}$

Kita juga akan jumpa

${\displaystyle \pi (z)={1 \over \Pi (z)}\,}$

yang merupakan fungsi keseluruhan, tertakrif bagi setiap nombor kompleks. π(z) tidak mempunyai pola, maka Γ(z) tidak mempunyai sifar.

Hubungan dengan fungsi lain

Dalam kamiran yang pertama di atas, yang mentakrifkan fungsi gamma, had kamiran adalah ditetapkan. Fungsi gamma tak sempurna merupakan fungsi yang diperolehi dengan membenarkan salah satu had atas atau bawah kamiran menjadi pemboleh ubah.

Fungsi gamma berhubungan dengan fungsi beta dengan rumus

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Terbitan logaritma bagi fungsi gamma dipanggil fungsi digamma; terbitan lebih tinggi adalah fungsi poligamma.

Analog fungsi gamma ke atas medan terbatas adalah jumlah Gaussian, sejenis jumlah eksponen.

Fungsi gamma salingan merupakan fungsi keseluruhan dan telah dikaji sebagai topik khas.

Plot

• 
  Bahagian nyata Γ(z)
• 
  Bahagian khayalan Γ(z)
• 
  Nilai mutlak Γ(z)

• 
  Bahagian nyata log Γ(z)
• 
  Bahagian khayalan log Γ(z)
• 
  Nilai mutlak log Γ(z)

Nilai tertentu

${\displaystyle \Gamma (-3/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\approx 2.363\,}$
${\displaystyle \Gamma (-1/2)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\approx -3.545\,}$
${\displaystyle \Gamma (1/2)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\approx 1.772\,}$
${\displaystyle \Gamma (1)\,}$	${\displaystyle =0!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma (3/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx 0.886\,}$
${\displaystyle \Gamma (2)\,}$	${\displaystyle =1!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma (5/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\approx 1.329\,}$
${\displaystyle \Gamma (3)\,}$	${\displaystyle =2!=2\,}$
${\displaystyle \Gamma (7/2)\,}$	${\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\approx 3.323\,}$
${\displaystyle \Gamma (4)\,}$	${\displaystyle =3!=6\,}$

Penganggaran

Nilai kompleks bagi fungsi gamma boleh dikira secara berangka dengan menggunakan penghampiran Stirling atau penghampiran Lanczos.

Dengan kamiran berbahagian bagi kamiran Euler, fungsi gamma boleh ditulis sebagai

${\displaystyle \Gamma (z)=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\dots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt}$

iaitu, jika Re(z) dikurangkan kepada selang [1, 2], kamiran terakhir adalah lebih kecil daripada ${\displaystyle xe^{-x}<2^{-N}}$. Maka dengan memilih x yang sesuai, fungsi gamma boleh dinilaikan ke bit N dengan ketepatan siri di atas. Jika z adalah nisbah, pengiraan boleh dilakukan dengan pisahan binari dengan masa ${\displaystyle O((\log N)^{2}M(N))}$ iaitu M(N) adalah masa yang diperlukan untuk mendarab dua nombor bit N.

Bagi hujah yang merupakan daraban integer bagi 1/24, fungsi gamma juga boleh dinilaikan dengan pantas menggunakan jujukan min aritmetik-geometrik (lihat nilai tertentu fungsi gamma).

Aplikasi

Fungsi gamma merupakan komponen pelbagai fungsi taburan kebarangkalian dan sesuai untuk digunakan dalam bidang kebarangkalian dan statistik.

Lihat juga

• Fungsi beta
• Fungsi gamma eliptik
• Fungsi gamma tak sempurna
• Fungsi gamma multivariasi
• Fungsi poligamma
• Fungsi digamma
• Fungsi trigamma
• Taburan gamma
• Teorem Bohr-Mollerup
• Pemalar Gauss
• Penganggaran Stirling

Pautan luar

• (Inggeris) Contoh soalan yang melibatkan fungsi gamma di Exampleproblems.com.
• (Inggeris) Pengira fungsi gamma
• (Inggeris) Penilai fungsi gamma Wolfram