2次元正軸体（正方形） 3次元正軸体（正八面体） 4次元正軸体（正十六胞体）の投影図 正軸体 （せいじくたい、cross-polytope）は、2次元 の正方形 、3次元 の正八面体 、4次元 の正十六胞体 を各次元に一般化した正多胞体 。
なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は点、1次元正軸体は線分 となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。
β {\displaystyle \beta } n 次元正軸体を β n {\displaystyle \beta _{n}}
正単体 、超立方体 （正測体）と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
作図 正軸体を作図するには、座標 ( ± 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0,0,\cdots ,0)} 巡回
( ± 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , ± 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ , ( 0 , 0 , ⋯ , 0 , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,0,0,\cdots ,0),(0,\pm 1,0,\cdots ,0),\cdots ,(0,0,\cdots ,0,\pm 1)}
を頂点 とし、最も近い（距離 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 辺 で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、m + 1 (0 ≤ m ≤ n - 1) 点ずつが m 次元面を構成する。
なおこの作図は、超立方体
( ± 1 , ± 1 , ⋯ , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}
の双対の作図と等価である。
またこうして作図された正軸体は、n 次元ユークリッド空間 を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
{ x ∈ R n : ‖ x ‖ 1 ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}}
でも定義できる。
性質 特にことわらない限り、辺の長さが a の n (≥ 2) 次元正軸体について述べる。
超体積は
2 n n ! a n {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}^{n}}{n!}}a^{n}}
超表面積は
2 n n ( n − 1 ) ! 2 n − 1 a n − 1 {\displaystyle {\frac {2^{n}{\sqrt {n}}}{(n-1)!{\sqrt {2^{n-1}}}}}a^{n-1}}
である。
ファセット （n - 1 次元面）は n - 1 次元正単体 である。したがって一般に、 m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元正単体である。例えば正十六胞体（4次元正軸体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）である。また m 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、
m + 1 m ! 2 m a m {\displaystyle {\frac {\sqrt {m+1}}{m!{\sqrt {2^{m}}}}}a^{m}}
である。
対角線 の長さは、作図法より
2 a {\displaystyle {\sqrt {2}}a\,}
で、全て直交 する。
m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面の個数は
2 m + 1 n C m + 1 {\displaystyle 2^{m+1}{}_{n}\operatorname {C} _{m+1}}
である。これはパスカルのピラミッド（英語版） の第 n + 1 段の三角形の第 m + 2 段の数字の総和に等しい。反対側のファセットの中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 3 n = ( 1 + 2 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+2)^{n}} 3 n = ( 1 + 1 + 1 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+1+1)^{n}} 2 n {\displaystyle 2n} 2 n {\displaystyle 2^{n}} n C m + 1 {\displaystyle {}_{n}\operatorname {C} _{m+1}} パスカルの三角形 の第 n + 1 段の m + 2 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m 次元面の個数である。
m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数は
2 l − m n − m − 1 C l − m {\displaystyle 2^{l-m}{}_{n-m-1}\operatorname {C} _{l-m}}
である。これはパスカルのピラミッドの第 n - m 段の三角形の第 l - m + 1 段の数字の総和に等しく、 n - m - 1 次元正軸体の l - m - 1 次元面の個数である。
双対は超立方体（正測体）である。
