抽象添字記法

抽象添字記法(ちゅうしょうそえじきほう、abstract index notation)は、固有の基底の成分というよりも、タイプを表す添字を使ったテンソルやスピノルの数学的な記法である。添字は、数値を固定した基底に対して表すものではなく、占める位置を明確に示す記法となっている。この記法は、リッチの解析（英語版）(Ricci calculus)と混乱することはない。この記法はロジャー・ペンローズ(Roger Penrose)により導入され、アインシュタインの縮約記法の形式的側面を扱う方法である。現代的な抽象的なテンソル記法では、この方法により、テンソル縮約(tensor contraction)や共変微分の難しさを補い、表現の意味している共変性を明確に保つことができる。

V をベクトル空間、V^∗ をその双対とする。ランク 2 の共変テンソル ${\displaystyle \scriptstyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$ を考えると、h は V 上の双線型形式と同一視することができる。言い換えると、これは V を 2つ引数とする函数で、「スロット」のペアとして表現することができる。

${\displaystyle h=h(-,-).\,}$

抽象記法は、単にラテン文字でのスロットのラベリングであり、スロットのラベルとしての意味以外の意味を持たない（つまり、数値的ではない）。

${\displaystyle h=h_{ab}.\,}$

2つのテンソルの縮約は、添字ラベルの繰り返しにより表される。ひとつのラベルは反変（上にある添字は、V のテンソルに対応）であり、もうひとつのラベルは共変（下にある添字は、V^* に対応する）である。たとえば、

${\displaystyle {t_{ab}}^{b}}$

は、最後の 2つのスロットの上のテンソル t = t_ab^c のトレースである。この添字を繰り返すのテンソル縮約の表現方法は、アインシュタインの縮約記法と形式的には同じである。しかし、添字は数値ではないので、総和を意味しない。むしろ、タイプ V とタイプ V^* の間の基底（と双対なペア）とは独立なトレース作用素に対応している。

抽象的添字とテンソル空間

一般の同次テンソルは、V と V^∗ のコピーのテンソル積の元

${\displaystyle V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }}$

である。

このテンソル積の各々の要素を上にあるラテン文字は、上は V に共変な位置を示し、下は V に反変な位置を示したラベル付けを行う。このように積を、

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}\,}$

と書く、あるいは、単純に、

${\displaystyle {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}.}$

と書く。

最後の 2つの表し方は最初に書いたことと同じ対象を表していることが重要である。このタイプのテンソルを同じような種類の記法でも書くことができる。たとえば、次のような記法もある。

${\displaystyle {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\in {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}=V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }.}$

縮約

一般に、共変ひとつと反変ひとつの要素が空間内で発生したときは、常に、付帯する縮約（あるいは、トレース）写像が存在する。たとえば、

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

は、テンソル積の先頭の 2つの空間上のトレースである。

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

は先頭と最後の空間のトレースである。

これらのテンソル作用素は、テンソルではインデックスの繰り返しによりテンソルであることを意味している。このように第一のトレース写像は、

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\mapsto {{{h^{a}}_{ac}}^{d}}_{e}}$

であり、第二のトレース写像は、

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\mapsto {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{a}}$

である。

ブレイディング

単純なベクトル空間上のテンソル積へは、モノイダル写像（英語版）(braiding maps)が存在する。ブレイド写像の例として、

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

は、2つのテンソル要素を交換する（従って、それらの単独のテンソル上の作用は、${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$) により与えられる。一般には、ブレイド写像は、対称群の元と 1:1 に対応し、テンソル要素の置換として作用する。ここに、${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ により置換 ${\displaystyle \sigma }$ に付随したブレイド写像を表す（共通部分を持たない巡回置換(cyclic permutation)の積としての表現）。

ブレイド写像は、微分幾何学で、たとえば、ビアンキ恒等式を表すために重要である。ここで、${\displaystyle R}$ でリーマンテンソルを表し、${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$ の中のテンソルと考えると、ビアンキの第一恒等式は、

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0}$

となる。

抽象的添字は次のようにブレイド写像を扱う。特殊なテンソル積では、抽象的な添次の順序付けが、固定されている（通常は、これは辞書式付けである）。従って、ブレイドは添字のラベルの置換により、この記法で表される。このようにすると、たとえば、リーマンテンソルは、

${\displaystyle R={R_{abc}}^{d}\in {V_{abc}}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

となり、ビアンキ恒等式は、

${\displaystyle {R_{abc}}^{d}+{R_{cab}}^{d}+{R_{bca}}^{d}=0}$

となる。

参照項目

• ペンローズのグラフ記法
• アインシュタインの縮約記法
• 添字記法
• テンソル
• 反対称テンソル
• 添字の上げ下げ（英語版）(Raising and lowering indices)
• ベクトルの共変性と反変性

参考文献

• Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004, has a chapter explaining it.
• Roger Penrose and Wolfgang Rindler, Spinors and space-time, volume I, two-spinor calculus and relativistic fields.