形式的冪級数

数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として）

\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}=1+X+X^{2}+X^{3}+\dotsb +X^{n}+\dotsb

は（多項式ではない）冪級数である。

定義

A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 a_i (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb

の形をしたものである。ある m が存在して n ≥ m のとき a_n = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}&:=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})X^{n}\\\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)&:=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}\end{aligned}}

すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

より形式的な定義

ℕ を非負整数全体の集合とし、配置集合 A^ℕ すなわち ℕ から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し

{\begin{aligned}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\cdot (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}

によって演算を定めると、A^ℕ は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。

ここでの (a_n) は上の ∑
a_nXⁿ と対応する。

合成

定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、 ${\textstyle f(X):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\;g(X):=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}X^{m}}$ とすると、(g(X))ⁿ は n − 1 次以下の項をもたないので、合成

f(g(X))=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\{g(X)\}^{n}

が意味をもつ。例えば

\exp(\log(1+t))=1+t

は形式的冪級数としても正しい等式である。

性質

以下では A を単位元をもつ可換環とし、 ${\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in A[[X]]}$ とする。

f が A[[X]] の単元であることと a₀ が A の単元であることは同値である。
f が冪零であれば、すべての a_n は冪零である。逆は一般には成り立たないが、A がネーター環であれば成り立つ。
A がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。
A が整域であれば、A[[X]] も整域である。
f が A[[X]] のジャコブソン根基に属することと、a₀ が A のジャコブソン根基に属することは同値である。

形式微分

${\textstyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$ に対し、 ${\textstyle f':=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}X^{n-1}}$ を f の形式微分という。a, b ∈ A, f, g ∈ A[[X]] に対し、(af + bg)′ = af′ + bg′, (fg)′ = f′g + fg′ などが成り立つ。

これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

一般化

形式的ローラン級数

有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。N を自然数、各 a_n を可換環 A の元として、

\sum _{n=-N}^{\infty }a_{n}X^{n}

このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、A((X)) と表記する。とくに A が体 k であるとき、k((X)) も体であり、これは k[[X]] の商体でもある。

多変数の形式的冪級数

任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり X_Λ を λ ∈ Λ に対し不定元 X_λ 全体の集合とすれば、単項式 X^α は X_Λ の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 A にもつ X_Λ の形式的冪級数は単項式 X^α の集合から対応する係数 c_α への任意の写像によって決定され、 ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$ と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A[[X_Λ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。

\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }

および

\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }

一変数の場合と同様に、A[X_I] ⊂ A[[X_I]] である。

Λ ≔ {1, 2, …, n} の場合には、A[[X_Λ]] = A[[X₁, X₂, …, X_n]] とも書かれる。A[[X₁, …, X_n]] = A[[X₁, …, X_n-1]] [[X_n]] である。

性質

多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。

しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。このとき

a_{1},\dots ,a_{n}\in I

であれば、

{\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\in A[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}

の

X_{1},\dots ,X_{n}

に

a_{1},\dots ,a_{n}

を代入したものは収束する。

ネーター環 A 上の多項式環 B ≔ A[X₁, …, X_n] の、 ${\textstyle {\mathfrak {m}}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ による完備化は、A[[X₁, …, X_n]] と同型である。これは ${\textstyle B_{\mathfrak {m}}}$ の ${\textstyle {\mathfrak {m}}B_{\mathfrak {m}}}$ 進位相による完備化とも同型である。
A がネーター環であれば、C ≔ A[[X₁, …, X_n]] もネーター環であり、A が整域であれば C も整域である。A が体であれば、C は正則局所環である。

参考文献

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, MA: Addison-Wesley .
荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義　『ベルヌーイ数とゼータ関数』　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。
雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5