差分商

曖昧さ回避 この項目では、difference quotient (Δy/Δx)について説明しています。divided differences ([y1, …, yn])については「差商」をご覧ください。

微分積分学における差分商[1]（さぶんしょう、英: difference quotient; 差商）は、ふつうは函数 f に対する有限差分の商

f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
を言い、これは h → 0 の極限で微分商となる[2][3][4][5]。実際に函数値の有限差分を対応する変数の有限差分で割ったものであることにより、この名称がある[6][7]。

差分商は函数 f のある区間（いまの場合、長さ h の区間）における「平均変化率」(average rate of change) [8][9]:237[10]を与えるものであるから、特にその極限としての微分商は「瞬間変化率」に対応すると考えることができる[10]

やや記法を変更（b ≔ a + h）して、区間 [a, b] に対する、差分商[6]

f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
を考えれば、これは f の区間 [a, b] における微分係数の「平均値」を表していると考えられる。このことは、可微分函数 f に対して f の微分係数が区間内の適当な点において平均値に到達することを述べた平均値の定理によって正当化される[6]。幾何学的には、この差分商は二点 (a, f(a)), (b, f(b)) を通る割線の傾きを測るものである[11]。

差分商は数値微分法（英語版）における近似に用いられる[9]が、それは同時にこの応用において批判の主題ともなっている[12]

差分商のことを、ニュートン商[11][13][14][15]（アイザック・ニュートンに由来）やフェルマーの差分商（ピエール・ド・フェルマーに由来）などとも呼ぶことがある。[16]

有限差分をとる操作を反復適用して得られる高階差分を用いれば、高階差分商あるいは（分点が等間隔の場合の）高階差商を考えることができる。

関連項目

  • 差商: 非等間隔な分点に対する高階差分商の一般化
  • フェルマー理論（英語版）
  • ニュートン多項式
  • ニュートン級数（英語版）
  • 矩形法（英語版）
  • 商の微分法則
  • 対称差分商（英語版）

参考文献

  1. ^ ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『差分商』 - コトバンク
  2. ^ Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Calculus With Applications. Springer. p. 119. ISBN 978-1-4614-7946-8 
  3. ^ Shirley O. Hockett; David Bock (2005). Barron's how to Prepare for the AP Calculus. Barron's Educational Series. p. 44. ISBN 978-0-7641-2382-5 
  4. ^ Mark Ryan (2010). Calculus Essentials For Dummies. John Wiley & Sons. pp. 41–47. ISBN 978-0-470-64269-6 
  5. ^ Karla Neal; R. Gustafson; Jeff Hughes (2012). Precalculus. Cengage Learning. p. 133. ISBN 0-495-82662-6 
  6. ^ a b c Michael Comenetz (2002). Calculus: The Elements. World Scientific. pp. 71–76 and 151–161. ISBN 978-981-02-4904-5 
  7. ^ Moritz Pasch (2010). Essays on the Foundations of Mathematics by Moritz Pasch. Springer. p. 157. ISBN 978-90-481-9416-2 
  8. ^ Frank C. Wilson; Scott Adamson (2008). Applied Calculus. Cengage Learning. p. 177. ISBN 0-618-61104-5 
  9. ^ a b Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn (2014). Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. p. 299. ISBN 978-1-61865-686-5 
  10. ^ a b Thomas Hungerford; Douglas Shaw (2008). Contemporary Precalculus: A Graphing Approach. Cengage Learning. pp. 211–212. ISBN 0-495-10833-2 
  11. ^ a b Steven G. Krantz (2014). Foundations of Analysis. CRC Press. p. 127. ISBN 978-1-4822-2075-9 
  12. ^ Andreas Griewank; Andrea Walther (2008). Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition. SIAM. pp. 2–. ISBN 978-0-89871-659-7. https://books.google.com/books?id=qMLUIsgCwvUC&pg=PA2 
  13. ^ Serge Lang (1968). Analysis 1. Addison-Wesley Publishing Company. p. 56 
  14. ^ Brian D. Hahn (1994). Fortran 90 for Scientists and Engineers. Elsevier. p. 276. ISBN 978-0-340-60034-4 
  15. ^ Christopher Clapham; James Nicholson (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. p. 313. ISBN 978-0-19-157976-9 
  16. ^ Donald C. Benson, A Smoother Pebble: Mathematical Explorations, Oxford University Press, 2003, p. 176.

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Difference Quotient". mathworld.wolfram.com (英語).
  • difference quotient - PlanetMath.（英語）
  • Definition:Difference Quotient at ProofWiki
  • Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—MA109 The Difference Quotient
  • University of Birmingham: Dirk Hermans—Divided Differences
  • University of Wisconsin: Thomas W. Reps and Louis B. Rall—Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics
  • Interactive simulator on difference quotient to explain the derivative
典拠管理データベース: 国立図書館 ウィキデータを編集
  • ドイツ