ランキン渦

ランキン渦またはランキンの結合渦（英: Rankine's combined vortex）とは、渦度分布の一様な中核部分と、その外側の渦なしの部分からなる渦である[1]。日常的に水面などに見られる渦[2]を流体力学で考察する際に、単純化された近似モデルとして使われる。

概要　

ランキン渦が考察の対象とするのは、自由表面を持つ水が鉛直軸の周りに回転している状況である。水面には大気圧 p ∞ {\displaystyle p_{\infty }} がかかっているとする。

また、次の仮定を行う：

  • 流体は完全流体である。
  • 流速は高さ z {\displaystyle z} 方向の成分を持たず、また z {\displaystyle z} に依存しない。すなわち2次元流れである。
  • 外力（ここでは重力）はポテンシャルを持つ保存力である。

これを、半径 a {\displaystyle a} の円内に渦度 ω {\displaystyle \omega } が一様に分布し、円外は渦なしであるものと考えると、渦の中心から半径 r {\displaystyle r} の位置の速度 v {\displaystyle v} は円周方向成分のみを持ち、

v ( r ) = { ω 2 r , ( r < a ) , ω 2 a 2 r , ( r > a ) {\displaystyle v(r)={\begin{cases}{\dfrac {\omega }{2}}r,&\quad (r<a),\\{\dfrac {\omega }{2}}{\dfrac {a^{2}}{r}},&\quad (r>a)\end{cases}}}

となる[1]。一方、圧力 p {\displaystyle p} は、高さを z {\displaystyle z} で表すと次のように表される[3]：

p ( r , z ) = { ρ 8 ω 2 r 2 − ρ g z , ( r < a ) , ρ 8 ω 2 a 2 ( 2 − a 2 r 2 ) − ρ g z , ( r > a ) {\displaystyle p(r,z)={\begin{cases}{\dfrac {\rho }{8}}\omega ^{2}r^{2}-\rho gz,&\quad (r<a),\\{\dfrac {\rho }{8}}\omega ^{2}a^{2}\left(2-{\dfrac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-\rho gz,&\quad (r>a)\\\end{cases}}}

ここで ρ {\displaystyle \rho } は流体の密度、 g {\displaystyle g} は重力加速度である。

無限遠での水面の高さを z = 0 {\displaystyle z=0} とすると、自由表面の圧力 p ∞ {\displaystyle p_{\infty }} は z = 0 , r → ∞ {\displaystyle z=0,r\rightarrow \infty } での圧力に等しいから

p ∞ = ρ 4 ω 2 a 2 {\displaystyle p_{\infty }={\frac {\rho }{4}}\omega ^{2}a^{2}}

が成り立ち、これを用いて上式を書き換えれば、

p ( r , z ) = { p ∞ 2 r 2 a 2 − ρ g z , ( r < a ) , p ∞ 2 ( 2 − a 2 r 2 ) − ρ g z , ( r > a ) , {\displaystyle p(r,z)={\begin{cases}{\dfrac {p_{\infty }}{2}}{\dfrac {r^{2}}{a^{2}}}-\rho gz,&\quad (r<a),\\{\dfrac {p_{\infty }}{2}}\left(2-{\dfrac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-\rho gz,&\quad (r>a),\\\end{cases}}}

と表される。

水面の形は、上式で p = p ∞ {\displaystyle p=p_{\infty }} となる高さ z {\displaystyle z} であるから、

z | p = p ∞ ( r ) = { − p ∞ ρ g ( 1 − r 2 2 a 2 ) , ( r < a ) , − p ∞ ρ g a 2 2 r 2 , ( r > a ) {\displaystyle z|_{p=p_{\infty }}(r)={\begin{cases}-{\dfrac {p_{\infty }}{\rho g}}\left(1-{\dfrac {r^{2}}{2a^{2}}}\right),&\quad (r<a),\\-{\dfrac {p_{\infty }}{\rho g}}{\dfrac {a^{2}}{2r^{2}}},&\quad (r>a)\end{cases}}}

と得られる。したがって水面は、渦の中では回転放物面の形を持ち、渦の外では r 2 {\displaystyle r^{2}} に反比例するようなくぼみとなる。くぼみの最深点は

z | p = p ∞ , r = 0 = − p ∞ ρ g = − ω 2 a 2 4 g {\displaystyle z|_{p=p_{\infty },r=0}=-{\frac {p_{\infty }}{\rho g}}=-{\frac {\omega ^{2}a^{2}}{4g}}}

で与えられ、渦度 ω {\displaystyle \omega } と渦の半径 a {\displaystyle a} の積（＝渦の周辺での流速）の2乗に比例する。

脚注

  1. ^ a b 今井功『流体力学（前編）』（24版）裳華房、1997年、177-179頁。ISBN 4-7853-2314-0。 
  2. ^ このような渦では、渦度は中心付近で最大である。
  3. ^ 巽友正『流体力学』培風館、1982年、189-190頁。ISBN 4-563-02421-X。 

関連項目