メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は ${\textstyle {\frac {\log 20}{\log 3}}(=2.7268\ldots )}$次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。 表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$増加する。

穴を空ける回数を${\displaystyle n}$とすると、その表面積は${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.73次元）ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は${\displaystyle {\tfrac {7}{27}}}$ずつ減少するため、穴を空ける回数を${\displaystyle n}$とすると最終的に体積は${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}=0}$となり${\displaystyle 0}$に収束する。

厳密な定義

メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

ここで${\displaystyle M_{0}}$ は単位立方体で、

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i_{1},i_{2},i_{3}\in \{0,1,2\}.(3x-i_{1},3y-i_{2},3z-i_{3})\in M_{n}\\\#\{i_{j}\mid i_{j}=1\}\leqq 1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.}$

関連項目

• カール・メンガー (数学者)
• フラクタル、フラクタル幾何
• シェルピンスキーのギャスケット
• シェルピンスキーのカーペット
• 立方体

表 話 編 歴 フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版） ハウスドルフ Packing（英語版） 位相 再帰（英語版） 自己相似 自己相似過程 スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダ カントール集合 ドラゴン曲線 レヴィC曲線 コッホ雪片 メンガーのスポンジ シェルピンスキーのカーペット シェルピンスキーの三角形 空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタル ジュリア集合 充填 リアプノフ・フラクタル マンデルブロ集合 ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ブラウンの木（英語版） 拡散律速凝集 フラクタル地形 Lévy flight（英語版） パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
人物	ゲオルク・カントール フェリックス・ハウスドルフ ガストン・ジュリア ヘルゲ・フォン・コッホ ポール・レヴィ アレクサンドル・リャプノフ ブノワ・マンデルブロ ルイス・フライ・リチャードソン ヴァツワフ・シェルピニスキ
その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
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