ネイピア数の無理性の証明(ねいぴあすうのむりせいのしょうめい)は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。
e を底とする指数関数 ex は以下のようにテイラー展開される。
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a9298efa55f8da4b31868da8e08f68e6bc2ae2)
x = 1 を代入すると
![{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db728f13134c63604ea0f749b4eb2848463cf2a2)
以下、これを e の定義として無理数であることを証明する。
証明
e = a/b を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b! ⋅ e は以下のように展開される。
![{\displaystyle {\begin{aligned}b!\cdot e&=\left(b!+{\frac {b!}{1!}}+{\frac {b!}{2!}}+{\frac {b!}{3!}}+\cdots +{\frac {b!}{b!}}\right)\\&\qquad +\left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f6d655918c5352847fd5c1fac696686401439b)
左辺は
であるから自然数である。右辺は ( ) 内の b! から b!/b! までの項は全て自然数であるが、{ } 内の b!/(b + 1)! 以降の全ての項の和は、b が 1 以上であることから
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}\\&={\frac {1}{(b+1)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c3c56c4b7c94a06dc75fe67b242b7395de36fb)
と 1 未満になる。したがって ( ) 内と { } 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。
ゆえに e = a/b を満たす自然数 a, b が存在するという仮定は誤りである。
ネイピア数の冪乗の無理性
一般に、q を 0 でない有理数とすると、eq は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている[1]。
脚注
- ^ M. Aigner and G. M. Ziegler, "Proofs from the Book", 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600(日本語訳、蟹江幸博『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年 ISBN 443170986X)
参考文献
- 塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版、1999年3月30日。ISBN 4-627-06091-2。
- 1〜2頁および60〜61頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。
- ジャン=ポール・ドゥラエ『π――魅惑の数』畑政義訳、朝倉書店、2001年10月20日。ISBN 4-254-11086-3。
- 130頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。
関連項目