Teorema di Hahn-Banach

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale sul campo ${\displaystyle K}$ (che può essere quello reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o quello complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Una funzione ${\displaystyle f:V\to \mathbb {R} }$ si dice sublineare se:

${\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)\qquad \forall \gamma \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall x\in V}$

${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V}$

Ogni seminorma su ${\displaystyle V}$, ed in particolare ogni norma su ${\displaystyle V}$, è sublineare.

Si dice inoltre che una funzione ${\displaystyle F}$ è l'estensione di una funzione ${\displaystyle f}$ se il dominio di ${\displaystyle F}$ contiene quello di ${\displaystyle f}$ e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di ${\displaystyle f}$.

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se ${\displaystyle {\mathcal {N}}:V\to \mathbb {R} }$ è una funzione sublineare e ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ è un funzionale lineare su un sottospazio vettoriale ${\displaystyle U\subseteq V}$ e ${\displaystyle \varphi }$ è dominato da ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ su ${\displaystyle U}$, ovvero:

${\displaystyle \varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U}$

allora esiste un'estensione lineare ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }$ di ${\displaystyle \varphi }$ definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare ${\displaystyle \psi }$ tale che:^[1]

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\quad \forall x\in U\qquad \psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\quad \forall x\in V}$

L'estensione ${\displaystyle \psi }$ non è in generale unicamente determinata da ${\displaystyle \varphi }$, e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare ${\displaystyle \psi }$ nel caso di uno spazio a dimensione infinita ${\displaystyle V}$, ma si appoggia al lemma di Zorn.

La condizione di sublinearità su ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ può essere leggermente indebolita assumendo che:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|N(y)}$

per tutti gli ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle K}$ tali che ${\displaystyle |a|+|b|=1}$.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e sia ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ una funzione tale che:

${\displaystyle p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad \forall \ x,y\in X\quad \forall \ t\in [0,1]}$

Sia ${\displaystyle Y}$ un sottospazio di ${\displaystyle X}$ e sia ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {R} }$ una funzione lineare tale che:

${\displaystyle f(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in Y}$

Allora esiste una funzione lineare ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ tale che:

${\displaystyle F(x)=f(x)\qquad \forall \ x\in Y}$

${\displaystyle F(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in X}$

Per dimostrare questo fatto, sia ${\displaystyle z\in X\setminus Y}$ e si consideri il sottospazio di ${\displaystyle X}$ definito nel modo seguente:

${\displaystyle Y_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in Y,\ a\in \mathbb {R} \right\}}$

Si estende ${\displaystyle f}$ su tutto ${\displaystyle Y_{z}}$ ponendo:

${\displaystyle {\tilde {f}}(y+az)\doteq f(y)+a{\tilde {f}}(z)}$

dove ${\displaystyle {\tilde {f}}(z)}$ è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ è una estensione lineare di ${\displaystyle f}$.

Siano ora ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ e ${\displaystyle a,b>0}$. Si ha:

${\displaystyle f(ay_{1}+by_{2})=af(y_{1})+bf(y_{2})=(a+b)f\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leq }$

${\displaystyle (a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)=}$

${\displaystyle (a+b)p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leq }$

${\displaystyle ap(y_{1}-bz)+bp(y_{2}+az)}$

Pertanto risulta:

${\displaystyle a\left(f(y_{1})-p(y_{1}-bz)\right)\leq -b\left(f(y_{2})-p(y_{2}+az)\right)}$

e quindi:

${\displaystyle {\frac {1}{b}}\left(-p(y_{1}-bz)+f(y_{1})\right)\leq {\frac {1}{a}}\left(p(y_{2}+az)-f(y_{2})\right)\qquad \forall \ y_{1},y_{2}\in Y,\quad \forall a,b>0}$

Quindi esiste ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ tale che:

${\displaystyle \sup _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[-p(y-az)+f(y)\right]\right\}\leq c\leq \inf _{a>0,y\in Y}\left\{{\frac {1}{a}}\left[p(y+az)-f(y)\right]\right\}}$

Da tale disuguaglianza si evince che:

${\displaystyle ac\leq p(y+az)-f(y)\qquad \forall \ y\in Y,\quad \forall \ a\in \mathbb {R} }$

Si pone quindi:

${\displaystyle {\tilde {f}}(z)=c}$

Per ogni ${\displaystyle y\in Y}$ e per ogni ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ risulta:

${\displaystyle {\tilde {f}}(y+az)=f(y)+ac\leq p(y+az)}$

cioè:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\leq p(x)\qquad \forall \ x\in Y_{z}}$

Sia ora ${\displaystyle E}$ l'insieme delle estensioni lineari ${\displaystyle e}$ di ${\displaystyle f}$ tali che ${\displaystyle e(x)\leq p(x)}$ per ogni ${\displaystyle x}$ appartenente al dominio di definizione di ${\displaystyle e}$. Per il punto precedente ${\displaystyle E}$ è un insieme non banale.

Si definisce in ${\displaystyle E}$ una relazione d'ordine dicendo che ${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}}$ se il dominio di definizione di ${\displaystyle e_{1}}$ è contenuto nel dominio di definizione di ${\displaystyle e_{2}}$ e ${\displaystyle e_{1}}$ ed ${\displaystyle e_{2}}$ coincidono sul dominio di definizione di ${\displaystyle e_{1}}$.

Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di ${\displaystyle E}$, denotato con ${\displaystyle U=\left\{e_{a},a\in A\right\}}$, dove ${\displaystyle A}$ è un arbitrario insieme di indici, e sia ${\displaystyle X_{a}}$ il dominio di definizione di ${\displaystyle e_{a}\in U}$. Si pone ${\displaystyle Y=\cup _{a\in A}X_{a}}$ e, dato ${\displaystyle y\in Y}$, si definisce ${\displaystyle e(y)=e_{b}(y)}$, dove ${\displaystyle b\in A}$ è un qualsiasi indice di ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle y\in X_{b}}$. La definizione di ${\displaystyle e}$ è ben posta, ed ${\displaystyle e}$ è una estensione lineare di ogni ${\displaystyle e_{a}\in U}$. Inoltre risulta ${\displaystyle e(x)\leq p(x)\ \forall x\in Y}$.

Si deduce che ${\displaystyle e}$ è un limite superiore per ${\displaystyle U}$. Essendo ${\displaystyle U}$ un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di ${\displaystyle E}$ il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di ${\displaystyle E}$ denotato con ${\displaystyle F}$. Sia ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ il dominio di definizione di ${\displaystyle F}$. Se si mostra che ${\displaystyle {\tilde {Y}}=X}$, il teorema è provato.

L'insieme ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ è un sottospazio di ${\displaystyle X}$. Si supponga, per assurdo, che esista ${\displaystyle z\in X\setminus {\tilde {Y}}}$. Applicando il primo punto al sottospazio:

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{z}\doteq \left\{y+az,\ y\in {\tilde {Y}},\ a\in \mathbb {R} \right\}}$

si può costruire una estensione non banale di ${\displaystyle F}$ che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di ${\displaystyle F}$ su ${\displaystyle E}$. Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":

• Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio normato con sottospazio ${\displaystyle U}$ (non necessariamente chiuso) e se ${\displaystyle \Phi :U\to K}$ è lineare e continua, allora esiste un'estensione ${\displaystyle \Psi :V\to K}$ di ${\displaystyle \Phi }$ che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di ${\displaystyle \Phi }$.
• Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se ${\displaystyle z}$ è un elemento di ${\displaystyle V}$ non contenuto nella chiusura di ${\displaystyle U}$, allora esiste un'applicazione lineare e continua ${\displaystyle \Psi :V\to K}$ con ${\displaystyle \Psi (x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x\in U}$, ${\displaystyle \Psi (z)=1}$, e ${\displaystyle \|\Psi \|=\|z\|^{-1}}$.

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari. Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale normato su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e sia ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ un funzionale lineare continuo non nullo. Dato ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, l'insieme:

${\displaystyle H\doteq \left\{x\in X:f(x)=a\right\}}$

si dice iperpiano in ${\displaystyle X}$ di equazione ${\displaystyle f=a}$. Dati due sottoinsiemi ${\displaystyle A,B}$ di ${\displaystyle X}$ non vuoti e disgiunti, si dice che l'iperpiano ${\displaystyle H}$ separa ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ se risulta:

${\displaystyle f(x)\leq a\qquad \forall \ x\in A}$

e:

${\displaystyle f(x)\geq a\qquad \forall \ x\in B}$

Si dice che l'iperpiano ${\displaystyle H}$ separa ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ in senso stretto se esiste un numero ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tale che:

${\displaystyle f(x)\leq a-\varepsilon \qquad \forall \ x\in A}$

e:

${\displaystyle f(x)\geq a+\varepsilon \qquad \forall \ x\in B}$

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Siano ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale normato su ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A,B}$ due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di ${\displaystyle X}$ e si supponga che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione ${\displaystyle f=a}$ che separa ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

Siano ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale normato su ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A,B}$ due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di ${\displaystyle X}$ e si supponga che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione ${\displaystyle f=a}$ che separa ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ in senso stretto.

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Lawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times, Topology and its Applications, Volume 77, 2ª edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui

• Funzionale lineare
• Funzione sublineare
• Operatore lineare limitato
• Spazio duale

• (EN) AA. VV., Hahn-Banach theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.