Teorema di Atiyah-Singer

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Il teorema di Atiyah-Singer sostiene che l'indice di un operatore misura la quantità delle soluzioni e si ottiene sottraendo i numeri che determinano l'esistenza e l'unicità delle soluzioni (il primo numero è la dimensione del sistema di relazioni lineari che una soluzione deve soddisfare, il secondo è la dimensione dello spazio di tutte la soluzioni). L'enunciato del teorema stabilisce che l'indice è in realtà un invariante topologico, cioè non cambia se si perturba lo spazio su cui l'operatore è definito: il che permette da un lato di calcolare l'indice in maniera alternativa e dall'altro getta un fecondo ponte tra l'analisi e la topologia. La complicata dimostrazione originale richiedeva l'uso delle tecniche più svariate, dalla teoria del cobordismo di Thom alla K-teoria sviluppata dallo stesso Atiyah, che per tutti questi lavori ottenne la medaglia Fields nel 1966. Più recentemente il teorema dell'indice è stato reinterpretato in termini di meccanica quantistica e la teoria delle stringhe ha permesso ad Edward Witten di fornire una dimostrazione più semplice e comprensibile e di ottenere anche per questo la medaglia Fields nel 1990.