Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali

Questa pagina contiene una tavola di integrali indefiniti di funzioni esponenziali. Per altri integrali, vedi Tavole di integrali.

∫ e c x d x = 1 c e c x {\displaystyle \int e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}}
∫ a c x d x = 1 c log ⁡ a a c x (per  a > 0 ,   a ≠ 1 ) {\displaystyle \int a^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c\log a}}a^{cx}\qquad {\mbox{(per }}a>0,{\mbox{ }}a\neq 1{\mbox{)}}}
∫ x n e c x d x = 1 c x n e c x − n c ∫ x n − 1 e c x d x {\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\mathrm {d} x}

che ha, come casi particolari:

  • ∫ x e c x d x = e c x c 2 ( c x − 1 ) {\displaystyle \int xe^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
  • ∫ x 2 e c x d x = e c x ( x 2 c − 2 x c 2 + 2 c 3 ) {\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;\mathrm {d} x=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
∫ e c x d x x = log ⁡ | x | + ∑ i = 1 ∞ ( c x ) i i ⋅ i ! {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;\mathrm {d} x}{x}}=\log |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫ e c x d x x n = 1 n − 1 ( − e c x x n − 1 + c ∫ e c x d x x n − 1 ) (per  n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;\mathrm {d} x}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}\mathrm {d} x}{x^{n-1}}}\right)\qquad {\mbox{(per }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ e c x ln ⁡ x d x = 1 c ( e c x log ⁡ | x | − ∫ e c x d x x ) {\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\left(e^{cx}\log |x|-\int {\frac {e^{cx}\mathrm {d} x}{x}}\right)}
∫ e c x sin ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 ( c sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x ) {\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
∫ e c x cos ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 ( c cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x ) {\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
∫ e c x sin n ⁡ x d x = e c x sin n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 ( c sin ⁡ x − n cos ⁡ x ) + n ( n − 1 ) c 2 + n 2 ∫ e c x sin n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
∫ e c x cos n ⁡ x d x = e c x cos n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 ( c cos ⁡ x + n sin ⁡ x ) + n ( n − 1 ) c 2 + n 2 ∫ e c x cos n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
∫ 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 = erf x − μ σ 2 {\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;={\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}}

Bibliografia

  • Murray R. Spiegel, Manuale di matematica, Etas Libri, 1974, p. 85.
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