Prodotto amalgamato

In algebra il prodotto amalgamato di due gruppi G {\displaystyle G} e H {\displaystyle H} è un gruppo costruito a partire da questi "identificando" due particolari sottogruppi.

Il prodotto amalgamato è strettamente connesso con un'operazione analoga usata frequentemente in topologia. L'operazione consiste nella costruzione di uno spazio topologico a partire da due spazi dati, ottenuta identificando due particolari sottospazi.

La connessione fra le due operazioni è fornita dal teorema di Van Kampen.

Definizione

Siano G {\displaystyle G} e H {\displaystyle H} due gruppi. Sia F {\displaystyle F} un altro gruppo e

φ : F → G , ψ : F → H . {\displaystyle \varphi :F\rightarrow G,\quad \psi :F\rightarrow H.}

due omomorfismi.

Il prodotto amalgamato di G {\displaystyle G} e H {\displaystyle H} (rispetto a φ {\displaystyle \varphi } e ψ {\displaystyle \psi } ) è il gruppo

( G ∗ H ) / N {\displaystyle (G*H)/N}

ottenuto come gruppo quoziente del prodotto libero G ∗ H {\displaystyle G*H} per il sottogruppo normale N {\displaystyle N} generato da tutte le parole (di due lettere) del tipo

φ ( f ) ψ ( f ) − 1 {\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}}

al variare di f {\displaystyle f} in F {\displaystyle F} .

Voci correlate

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