Numero di Wilson

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Un primo di Wilson, che prende il nome dal matematico inglese John Wilson, è un numero primo p tale che p2 divide (p − 1)! + 1, dove il simbolo ! indica la funzione fattoriale; si confronti questo risultato con le asserzioni del teorema di Wilson, il quale afferma che ogni numero primo p divide (p − 1)! + 1.

Gli unici numeri primi di Wilson conosciuti sono 5, 13 e 563[1]; se ne esistono altri devono essere maggiori di 2 ⋅ 10 13 {\displaystyle 2\cdot 10^{13}} .[2] È stato congetturato che esistano infiniti primi di Wilson, e che il loro numero in un dato intervallo [x, y] sia circa uguale a log ⁡ ( log ⁡ x log ⁡ y ) {\displaystyle \log \left({\frac {\log x}{\log y}}\right)} .[3]

Nella speranza di trovare nuovi primi di Wilson sono state svolte diverse ricerche attraverso computer.[4][5][6] Il progetto di calcolo distribuito Ibercivis include una ricerca dei primi di Wilson.[7] Un'altra ricerca è svolta al mersenneforum.[8]

Generalizzazioni

Primi di Wilson di ordine n

Il teorema di Wilson può essere espresso in generale come ( n − 1 ) ! ( p − n ) ! ≡ ( − 1 ) n   mod p {\displaystyle {\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}} per ogni intero n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} e primo p ≥ n {\displaystyle p\geq n} . I primi di Wilson generalizzati di ordine n {\displaystyle n} sono i primi p {\displaystyle p} tali che p 2 {\displaystyle p^{2}} divida ( n − 1 ) ! ( p − n ) ! − ( − 1 ) n {\displaystyle (n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}} .

È stato congetturato che per ogni numero naturale n {\displaystyle n} esistano infiniti primi di Wilson di ordine n {\displaystyle n} .

n {\displaystyle n} primi p {\displaystyle p} tali che p 2 {\displaystyle p^{2}} divida ( n − 1 ) ! ( p − n ) ! − ( − 1 ) n {\displaystyle (n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}} (fino a 10000)
1 5, 13, 563, ...
2 2, 3, 11, 107, 4931, ...
3 7, ...
4 10429, ...
5 5, 7, 47, ...
6 11, ...
7 17, ...
8 ...
9 541, ...
10 11, 1109, ...
11 17, 2713, ...
12 ...
13 13, ...
14 ...
15 349, ...
16 31, ...
17 61, 251, 479, ...
18 13151527, ...
19 71, ...
20 59, 499, ...
21 217369, ...
22 ...
23 ...
24 47, 3163, ...
25 ...
26 97579, ...
27 53, ...
28 347, ...
29 ...
30 137, 1109, 5179, ...

Numeri di Wilson

Un numero di Wilson è un numero naturale n {\displaystyle n} tale che W ( n ) ≡ 0 mod n 2 {\displaystyle W(n)\equiv 0{\bmod {n}}^{2}} dove W ( n ) = ∏ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n k + e {\displaystyle {\displaystyle W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}+e}} , e dove e = 1 {\displaystyle e=1} se n {\displaystyle n} ha una radice primitiva, altrimenti e = − 1 {\displaystyle e=-1} .[9] Per ogni numero naturale n {\displaystyle n} , W ( n ) {\displaystyle W(n)} è divisibile per n {\displaystyle n} . I numeri di Wilson sono

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ...

Se un numero di Wilson n {\displaystyle n} è primo, allora è considerato un primo di Wilson. Ci sono 13 numeri di Wilson fino a 5 ⋅ 10 8 {\displaystyle 5\cdot 10^{8}} .

Note

  1. ^ (EN) Sequenza A007540, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
  3. ^ The Prime Glossary: Wilson prime
  4. ^ R. McIntosh, WILSON STATUS (Feb. 1999), in E-Mail to Paul Zimmermann, 9 marzo 2004. URL consultato il 6 giugno 2011.
  5. ^ A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
  6. ^ (DE) P. Ribenboim e W. Keller, Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde, Berlin Heidelberg New York, Springer, 2006, p. 241, ISBN 3-540-34283-4.
  7. ^ Ibercivis site, su ibercivis.net. URL consultato il 13 settembre 2018 (archiviato dall'url originale il 20 giugno 2012).
  8. ^ Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)
  9. ^ see Gauss's generalization of Wilson's theorem

Voci correlate

  • Primo di Wieferich
  • Primo di Wall-Sun-Sun
  • Primo di Wolstenholme

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Numero di Wilson, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) The Prime Glossary: Wilson prime, su primes.utm.edu.
  • (EN) Status of the search for Wilson primes, su loria.fr.
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