Numero di Kaprekar

In matematica, un numero di Kaprekar in una data base è un numero intero non-negativo, il cui quadrato (nella stessa base) può essere suddiviso in due parti che, sommate tra loro, forniscono nuovamente il numero di partenza.

Per esempio, 297 è un numero di Kaprekar nel sistema numerico decimale, perché 297² = 88209, che si può suddividere in 88 e 209, e 88 + 209 = 297. La seconda parte può iniziare con uno zero, ma deve essere un numero positivo. Per esempio, 999 è un numero di Kaprekar in base 10, poiché 999² = 998001, che si può dividere in 998 e 001, e 998 + 001 = 999 mentre il numero 100 non lo è poiché anche se 100² = 10000 e 100 + 00 = 100, il secondo addendo non è un numero positivo.

La riformulazione dei concetti esposti in termini più rigorosi può essere così espressa: Si consideri un numero X che sia intero e non negativo. X è un numero di Kaprekar in base b se esistono dei numeri interi non negativi n, A e B che soddisfino le tre condizioni seguenti:

0 < B < bⁿ

X² = Abⁿ + B

X = A + B

I primi numeri di Kaprekar in base 10 sono^[1]:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Nella numerazione binaria, tutti i numeri perfetti pari sono numeri di Kaprekar.

Per ogni base esistono infiniti numeri di Kaprekar; in particolare, per una data base b tutti i numeri di forma bⁿ - 1 sono numeri di Kaprekar.

I numeri di Kaprekar prendono il nome da D. R. Kaprekar.

Note

^ (EN) Sequenza A006886, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia

D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, J. Rec. Math., 13 (1980-1981), 81-82.
M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), https://web.archive.org/web/20040405174659/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html