Funzione vettoriale : Derivazione di una funzione vettoriale, Esempi, Voci correlate, Altri progetti Wikipedia, l'enciclopedia libera

Funzione vettoriale

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{\displaystyle (2\cos(t),4\sin(t),t)} — Immagine della funzione $(2\cos(t),4\sin(t),t)$ nello spazio euclideo tridimensionale

In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano $\mathbb {R} ^{n}$ . Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali f_i(x), in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell'i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

\mathbf {f} (x)=\langle f_{1}(x),f_{2}(x)\rangle

o, utilizzando la notazione dei versori,

\mathbf {f} (x)=f_{1}(x)\mathbf {\hat {i}} +f_{2}(x)\mathbf {\hat {j}}

in cui f₁ e f₂ sono funzioni $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ .

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

Derivazione di una funzione vettoriale

Se $\mathbf {f} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ , si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

\mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}},

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè $\mathbf {f} '(x)=\langle f'_{1}(x),f'_{2}(x),...,f'_{n}(x)\rangle$ .

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di $\mathbf {f}$ mediante versori, in quanto la derivata di un versore costante è 0.

Se $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , con $n,m>0$ , allora si hanno $mn$ derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle $n$ variabili con le $m$ funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di $m$ righe e $n$ colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare y_i.

{\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\cdots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}

detta matrice jacobiana di $\mathbf {f}$ .

Esempi

La funzione che dato un numero reale restituisce la sua parte intera e la sua parte frazionaria è una funzione vettoriale.
Un esempio meno banale e di estrema importanza è la parametrizzazione di una curva nel piano, o meglio nello spazio, a valori quindi in $\mathbb {R} ^{3}$ .