Costanti zeta

In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi.

La maggior parte di queste identità sono state fornite da Simon Plouffe. Esse sono molto utili, in quanto danno una rapida convergenza, fornendo la garanzia di quasi tre nuove cifre decimali ad ogni nuova iterazione; esse quindi rendono agevoli calcoli di alta precisione.

ζ(3) è noto come costante di Apéry.

Simon Plouffe fornisce le identità

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

e

${\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}}$

Si noti che la rappresentazione ha la forma di una serie di Lambert.

Se si definiscono le quantità

${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}$ ,

si ottiene una serie di relazioni della forma

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)}$

dove ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ e ${\displaystyle D_{n}}$ si congettura siano interi positivi. Plouffe fornisce una tavola di valori:

Se esiste una relazione di ricorrenza, non appare affatto ovvia.

Vi sono vari risultati che dimostrano che non tutti i numeri di una famiglia di ζ(2n+1) possono essere razionali. Per quanto riguarda ζ(5), il miglior risultato, a quanto risulta, afferma che almeno uno dei numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) è irrazionale.

Per i valori corrispondenti ad argomenti pari, invece, sono esprimibili mediante i numeri di Bernoulli:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

Tale formula si dimostra così: si considerino i polinomi di Bernoulli ${\displaystyle B_{n}(x)}$ e la loro versione periodica ${\displaystyle b_{n}(x)}$(la versione periodica dei polinomi di Bernoulli è una funzione che rimanda periodicamente i valori che i polinomi assumono nell'intervallo tra 1 e 0). La versione periodica ci permette di calcolare facilmente la serie di Fourier.

Ora dobbiamo calcolare i coefficienti della serie di Fourier: ${\displaystyle c_{n,k}=\int _{0}^{1}b_{n}(x)e^{-i2\pi kx}dx.}$

Ora integrando per parti

${\displaystyle c_{n,k}=[b_{n}(x){\frac {e^{-i2\pi kx}}{-i2\pi kx}}]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}b'_{n}(x){\frac {e^{-i2\pi kx}}{-i2\pi kx}}dx.}$ Dalle proprietà dei polinomi di Bernoulli ${\displaystyle b_{n}(0)=b_{n}(1)}$. Il primo termine è uguale a 0. Ora usiamo un'altra proprietà:

${\displaystyle B'_{n}(x)=nB'_{n-1}(x)}$

Ottenendo:

${\displaystyle c_{n,k}=-\int _{0}^{1}nb_{n-1}(x){\frac {e^{-i2\pi kx}}{-i2\pi kx}}dx={\frac {nc_{n-1}}{-i2\pi k}}}$ per n diverso da 1 Per ${\displaystyle n=1}$ si ottiene: ${\displaystyle c_{1,k}={\frac {B_{1}(1)-B_{1}(0)}{-2\pi ik}}=-{\frac {1}{2\pi ik}}}$

ricordando che ${\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}}$

Dalle due uguaglianze prima viste

${\displaystyle c_{n,k}=-{\frac {n!}{(2\pi ik)^{n}}}}$

La serie di Fourier è dunque

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {n!}{(2\pi ik)^{n}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{2i\pi kx}}{k^{n}}}=-{\frac {n!}{(2\pi ik)^{n}}}2\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {e^{2i\pi kx}}{k^{n}}}}$ Ponendo ${\displaystyle x=0,b_{n}(0)=B_{n}(0)}$ che poi è l'ennesimo numero di Bernoulli Dunque la frazione diventa ${\displaystyle {\frac {1}{k^{n}}}}$ perché il numero di nepero elevato a zero dà 0. Dunque per ottenere la formula bisogna divedere ${\displaystyle B_{n}(0)}$ per ${\displaystyle {\frac {2n!}{(2\pi i)^{2}}}}$ Studiando la potenza dell'unità immaginaria si capisce che la formula è valida solo per i pari, perché la potenza dà un numero reale. Studiando il sengno dell'unità immaginaria elevata ad un numero pari si ottiene la formula: ${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {2^{2n}\pi ^{2n}B_{2n}(0)(-1)^{n-1}}{2(2n)!}}={\frac {2^{2n-1}\pi ^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}}$.

I numeratori e i denominatori sono dati dalle successioni di interi registrate in OEIS con le sigle A046988 e A002432. Alcuni di questi valori sono riprodotti di seguito.

Se denotiamo con ${\displaystyle \eta _{n}}$ il coefficiente ${\displaystyle B/A}$ di cui sopra,

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n},}$

allora per ricorsione si ottiene:

${\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}};}$

${\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}.}$

• Simon Plouffe (1998): Identities inspired from Ramanujan Notebooks II Archiviato il 30 gennaio 2009 in Internet Archive.
• Wadim Zudilin (2001): "One of the Numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is Irrational" Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF in inglese Archiviato il 24 agosto 2007 in Internet Archive. PS in inglese Archiviato il 24 agosto 2007 in Internet Archive. PDF in russo Archiviato il 16 marzo 2007 in Internet Archive. PS in russo Archiviato l'11 marzo 2007 in Internet Archive.

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