Polinomial simetri elementer

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar komutatif, polinomial simetris elementer adalah jenis blok penyusun dasar untuk polinomial simetris, dalam arti polinomial simetris dapat diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Artinya, semua polinomial simetris P dari ekspresi penambahan dan perkalian konstanta dan polinomial simetris dasar. Polinomial simetris dasar derajat d dalam variabel n untuk bilangan bulat nonnegatif d ≤ n, dan dibentuk dengan menjumlahkan semua produk berbeda dari variabel berbeda d.

Definisi

Polinomial simetris dasar dalam variabel n X1, …, Xn, ditulis sebagai ek(X1, …, Xn) untuk k = 0, 1, …, n, didefinisikan oleh

e 0 ( X 1 , X 2 , … , X n ) = 1 , e 1 ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ 1 ≤ j ≤ n X j , e 2 ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ 1 ≤ j < k ≤ n X j X k , e 3 ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ 1 ≤ j < k < l ≤ n X j X k X l , {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\[10pt]e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}}

dan diakhiri dengan

e n ( X 1 , X 2 , … , X n ) = X 1 X 2 ⋯ X n . {\displaystyle e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.}

Maka, untuk k ≥ 0 yaitu

e k ( X 1 , … , X n ) = ∑ 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j k ≤ n X j 1 ⋯ X j k , {\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}},}

maka ek(X1, …, Xn) = 0 jika k > n.

Maka, bilangan bulat non-negatif k kurang dari atau sama dengan n, satu polinomial simetris dasar dengan derajat k dalam variabel n. Untuk membentuk satuan derajat k, kita ambil jumlah dari semua hasil kali dari k himpunan bagian dari n. (Sebaliknya, jika seseorang melakukan operasi yang sama menggunakan variabel multihimpunan, yaitu variabel dengan pengulangan di polinomial simetris homogen kompleks.)

Partisi bilangan bulat (yaitu, urutan bilangan bulat positif tidak hingga) λ = (λ1, …, λm), satu mendefinisikan polinomial simetris eλ(X1, …, Xn), juga disebut polinomial simetris elementer, oleh

e λ ( X 1 , … , X n ) = e λ 1 ( X 1 , … , X n ) ⋅ e λ 2 ( X 1 , … , X n ) ⋯ e λ m ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})} .

Terkadang notasi σk digunakan sebagai pengganti ek.

Contoh

Berikut daftar polinomial simetris dasar n untuk empat nilai positif pertama dari n. (Dalam, e0 = 1 juga salah satu polinomial.)

Untuk n = 1:

e 1 ( X 1 ) = X 1 . {\displaystyle e_{1}(X_{1})=X_{1}.}

Untuk n = 2:

e 1 ( X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 , e 2 ( X 1 , X 2 ) = X 1 X 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}}

Untuk n = 3:

e 1 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 + X 2 + X 3 , e 2 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 2 X 3 , e 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 X 2 X 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}}

Untuk n = 4:

e 1 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 , e 2 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 1 X 4 + X 2 X 3 + X 2 X 4 + X 3 X 4 , e 3 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 4 + X 1 X 3 X 4 + X 2 X 3 X 4 , e 4 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = X 1 X 2 X 3 X 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}}

Sifat

Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas faktorisasi linear dari polinomial monik: dari identitas

∏ j = 1 n ( λ − X j ) = λ n − e 1 ( X 1 , … , X n ) λ n − 1 + e 2 ( X 1 , … , X n ) λ n − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n e n ( X 1 , … , X n ) . {\displaystyle \prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}

Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel X1, X2, …, Xn, monik polinomial univariat (dengan variabel λ) nilai yang diganti X1, X2, …, Xn dan koefisien hingga adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut rumus Vieta.

Polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah contoh rumus Vieta. Akar dari polinomial adalah nilai eigen dari matriks. Maka, mensubstitusikan nilai eigen ke polinomial simetris elementer, hingga tanda koefisien dari polinomial karakteristik, yaitu invarian. Secara khusus, jejak (jumlah elemen diagonal) adalah nilai dari e1, dan dengan jumlah nilai eigen. Maka, determinan adalah hingga tanda suku konstanta dari karakteristik polinomial; determinan adalah nilai en. Jadi determinan dari matriks persegi adalah hasil kali dari nilai eigen.

Himpunan polinomial simetris dasar dalam variabel n menghasilkan gelanggang dari polinomial simetris dalam n. Lebih khusus lagi, gelanggang polinomial simetris dengan koefisien bilangan bulat sama dengan gelanggang polinomial integral ℤ[e1(X1, …, Xn), …, en(X1, …, Xn)]. (Lihat di bawah untuk pernyataan dan bukti yang lebih umum.) Hal ini adalah salah satu dasar dari teori invarian. Untuk sistem lain dari polinomial simetris dengan properti serupa lihat jumlah pangkat polinomial simetris dan polinomial simetris homogen kompleks.

Teorema dasar dari polinomial simetris

Untuk sembarang komutatif gelanggang A , gelanggang polinomial simetris dalam variabel X1, …, Xn dengan koefisien A dari A[X1, …, Xn]Sn. Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer n ek(X1, …, Xn) untuk k = 1, …, n. (Note that e0 tidak termasuk polinomial ini; karena e0 = 1, tidak dapat menjadi anggota himpunan sembarang elemen yang secara aljabar independen.)

Artinya polinomial simetris P(X1, …, Xn) ∈ A[X1, …, Xn]Sn representasi

P ( X 1 , … , X n ) = Q ( e 1 ( X 1 , … , X n ) , … , e n ( X 1 , … , X n ) ) {\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}}

untuk beberapa polinomial Q ∈ A[Y1, …, Yn]. Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah bahwa homomorfisme gelanggang dari Yk ke ek(X1, …, Xn) for k = 1, …, n mendefinisikan isomorfisme antara A[Y1, …, Yn] and A[X1, …, Xn]Sn.

Sketsa bukti

Teorema dapat dibuktikan untuk polinomial homogen simetris dengan induksi matematika ganda sehubungan dengan jumlah variabel n dan, untuk n , sehubungan dengan derajat dari polinomial homogen. Kasus umum kemudian diikuti dengan pemisahan polinomial simetris arbitrer menjadi komponen homogen (simetris).

Dalam kasus n = 1 hasilnya jelas karena setiap polinom dalam satu variabel secara otomatis simetris.

Asumsikan teorema telah terbukti untuk semua polinomial untuk m < n variabel dan semua polinomial simetris dalam variabel n dengan derajat < d . Setiap polinomial simetris homogen P dalam A[X1, …, Xn]Sn dapat diuraikan sebagai jumlah dari polinomial simetris homogen

P ( X 1 , … , X n ) = P lanari ( X 1 , … , X n ) + X 1 ⋯ X n ⋅ Q ( X 1 , … , X n ) . {\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lanari}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).}

Di sini "bagian lacunary" Planari didefinisikan sebagai jumlah dari semua monomial di P himpunan bagian dari variabel n ke X1, …, Xn, yaitu, di mana setidaknya satu variabel Xj ditemukan.

Karena P simetris, bagian lacunary ditentukan oleh suku-suku yang hanya berisi variabel X1, …, Xn − 1, yaitu, tidak menggunakan Xn. Lebih tepatnya: Jika A dan B adalah dua polinomial simetris homogen di X1, …, Xn memiliki derajat, dan jika koefisien dari A sebelum setiap monomial yang hanya berisi variabel X1, …, Xn − 1 sama dengan koefisien yang sesuai dari B , maka A dan B memiliki bagian lacunary yang sama. (Karenaarena setiap monomial yang dapat muncul di bagian lacunary harus kekurangan setidaknya satu variabel, dan dapat diubah dengan permutasi variabel menjadi monomial yang hanya berisi variabel X1, …, Xn − 1.)

Lihat pula

  • Polinomial simetris
  • Polinomial simetris homogen kompleks
  • Polinomial Schur
  • Identitas Newton
  • Teorema Master MacMahon
  • Fungsi simetris
  • Teori representasi

Referensi

  • Macdonald, I. G. (1995). Symmetric Functions and Hall Polynomials (edisi ke-2nd). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0. 
  • Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.