Persamaan Laplace

Pierre-Simon Laplace
Analisis matematika → Analisis kompleks
Analisis kompleks
Bilangan kompleks
  • Bilangan real
  • Bilangan imajiner
  • Bidang kompleks
  • Konjugat kompleks
  • Bilangan kompleks satuan
Fungsi kompleks
Teori dasar
  • Nol dan kutub
  • Teorema integral Cauchy
  • Primitif lokal
  • Rumus integral Cauchy
  • Bilangan lilitan
  • Deret Laurent
  • Kesingularan terpencil
  • Teorema residu
  • Peta konformal
  • Lema Schwarz
  • Fungsi harmonik
  • Persamaan Laplace
Teori fungsi geometri
Tokoh-tokoh
  • Augustin-Louis Cauchy
  • Leonhard Euler
  • Carl Friedrich Gauss
  • Jacques Hadamard
  • Kiyoshi Oka
  • Bernhard Riemann
  • Karl Weierstrass
  •  Portal Matematika
  • l
  • b
  • s

Dalam matematika dan fisika, persamaan Laplace adalah persamaan diferensial parsial orde dua yang dinamankan dengan nama Pierre-Simon Laplace, yang pertama kali mempelajari sifat-sifatnya. Persamaan ini umum ditulis dalam bentuk

∇ 2 f = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}
atau
Δ f = 0 , {\displaystyle \Delta f=0,}
dengan simbol Δ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}} menyatakan operator Laplace,[note 1] ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } menyatakan operator divergensi (juga disimbolkan dengan "div"), ∇ {\displaystyle \nabla } menyatakan operator gradien (juga disimbolkan dengan "grad"), dan f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} adalah sebuah fungsi bernilai real yang terdiferensialkan dua kali. Persamaan ini juga mengartikan operator Laplace memetakan sebuah fungsi bernilai skalar ke sebuah fungsi bernilai skalar yang lain.

Jika ruas kanan persamaan Laplace berisi sebuah fungsi h ( x , y , z ) {\displaystyle h(x,y,z)} , maka akan didapatkan bentuk

Δ f = h . {\displaystyle \Delta f=h.}
Persamaan ini disebut dengan persamaan Poisson, sebuah perumuman dari persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah contoh termudah dari persamaan diferensial eliptik parsial. Selain itu, persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari persamaan Helmholtz.

Solusi kontinu dan terdiferensialkan dua kali dari persamaan Laplace akan berupa fungsi harmonik,[1] yang memiliki peran penting dalam banyak cabang fisika, contohnya di elektrostatika, gravitasi, dan dinamika fluida. Dalam konduksi panas, persamaan Laplace menyatakan persamaan panas yang tunak (steady-state).[2] Secara umum, persamaan Laplace menyatakan kondisi keseimbangan, atau kondisi yang secara eksplisit tidak bergantung pada waktu.

Bentuk dalam sistem koordinat yang berbeda

Persamaan Laplace memiliki bentuk persamaan yang berbeda, tergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Dalam sistem koordinat ortogonal (Kartesius), persamaan Laplace dapat dijabarkan menjadi[3]

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}
Dalam sistem koordinat silinder,[3]
∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ ϕ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}
Dalam sistem koordinat bola, dengan menggunakan konvensi ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ,[3]
∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}
Secara umum, persamaan Laplace dalam koordinat kurvilinear dapat dijabarkan menjadi bentuk
∇ 2 f = ∂ ∂ ξ j ( ∂ f ∂ ξ k g k j ) + ∂ f ∂ ξ j g j m Γ m n n = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}
atau
∇ 2 f = 1 | g | ∂ ∂ ξ i ( | g | g i j ∂ f ∂ ξ j ) = 0 , ( g = det { g i j } ) . {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\}).}

Kondisi batas

Persamaan Laplace pada sebuah anulus (radius dalam r = 2 dan radius luar R = 4) dengan kondisi batas Dirichlet u(r=2) = 0 dan u(R=4) = 4 sin(5 θ).

Masalah Dirichlet untuk persamaan Laplace menanyakan cara mendapatkan sebuah solusi φ pada suatu domain D sehingga φ pada batas dari domain D akan sama dengan suatu fungsi yang ditentukan sebelumnya. Karena operator Laplace muncul dalam persamaan panas, salah satu interpretasi fisik dari masalah ini adalah sebagai berikut: Buat suhu pada batas suatu domain sesuai spesifikasi kondisi batas. Lalu biarkan panas mengalir di domain hingga keadaan tunak dicapai; dalam kondisi ini suhu pada tiap titik tidak akan berubah. Distribusi suhu di domain ini adalah solusi dari masalah Dirichlet yang bersesuaian.

Solusi dari persamaan Laplace disebut dengan fungsi harmonik; fungsi ini analitik pada domain yang memenuhi persamaan Laplace. Jika ada dua fungsi menjadi solusi persamaan Laplace, maka penjumlahan (atau sembarang kombinasi linear) dari keduanya juga merupakan solusi. Sifat ini, yang disebut prinsip superposisi, sangat berguna karena memungkinkan solusi dari permasalahan yang kompleks dibuat dengan menjumlahkan solusi-solusi yang sederhana.

Catatan

  1. ^ Simbol delta, Δ, juga umum digunakan untuk menyatakan perubahan suatu besaran, contohnya Δ x = x 1 − x 2 {\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}} . Penggunaan simbol delta untuk menyatakan operator Laplace seharusnya tidak menimbulkan kebingungan.

Referensi

  1. ^ Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.
  2. ^ Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.
  3. ^ a b c Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. ISBN 978-1-108-42041-9.

Bacaan lebih lanjut

  • Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9. 
  • Petrovsky, I. G. (1967). Partial Differential Equations. Philadelphia: W. B. Saunders. 
  • Polyanin, A. D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2. 
  • Sommerfeld, A. (1949). Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. 
  • Zachmanoglou, E. C. (1986). Introduction to Partial Differential Equations with Applications. New York: Dover. 

Pranala luar

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Laplace equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Example initial-boundary value problems using Laplace's equation from exampleproblems.com.
  • (Inggris) Weisstein, Eric W. "Laplace's Equation". MathWorld.