Metode Galerkin

Dalam matematika, khususnya bidang analisis numerik, metode galerkin merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah operator kontinu (seperti persamaan differensial) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini mirip penerapannya dengan metode variasi ke ruang fungsi dengan mengubah parsamaannya ke formulasi lemah. Yang secara khusus menerapkan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang pada suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali pada penggunaannya, metode Galerkin menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan pada umumnya, seperti metode Petrov-Galerkin atau metode Ritz-Galerkin.

Pendekatan berharga oleh matematikawan Rusia Boris Galerkin.

Sejak keindahan metode Galerikin terungkap dalam cara yang sangat abstrak dari studi mereka, maka pertama kali kita akan memberikan abstrak turunannya. Pada akhirnya, kita akan memberikan contoh untuk penggunaannya.

Contoh-contoh metode Galerkin adalah:

1. Metode elemen berhingga
2. Metode elemen pembatas untuk menyelesaikan persamaan integral
3. Metode subruang Kyrlov

Pengenalan masalah abstrak

Masalah dalam formulasi lemah

Misalkan kita memasukkan metode Galerkin pada sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu formulasi lemah pada ruang Hilbert yaitu V, jika diketahui ${\displaystyle u\in V}$ sehingga untuk setiap ${\displaystyle v\in V}$ maka

${\displaystyle a(u,v)=f(v)}$.

adalah benar. Sekarang ${\displaystyle a(\cdots ,\cdots )}$ adalah bentuk bilinear (penjelasan yang eksak atas ${\displaystyle a(\cdots ,\cdots )}$ akan ditentukan selanjutnya) dan f adalah operator linear pembatas pada V.

Diskretisasi Galerkin

Pilih subruang ${\displaystyle v_{n}\subset V}$ dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks n menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan. Jika diketahui ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ dan untuk setiap ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ maka

${\displaystyle a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$.

Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat diubah dan hanya ruangnya yang dapat diubah.

Ortogonalitas Galerkin

Hal ini merupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena ${\displaystyle v_{n}\subset V}$, kita dapat menggunakan ${\displaystyle v_{n}}$ sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat

${\displaystyle a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0}$.

Sekarang, ${\displaystyle e_{n}}$ = u – ${\displaystyle u_{n}}$ adalah galat antara solusi masalah awal u dan persamaan Galerkin ${\displaystyle u_{n}}$ secara berturut-turut.

Bentuk Matriks

Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer. Misal ${\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}}$ basis untuk ${\displaystyle v_{n}}$. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh: Diketahui ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ sehingga

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})}$.

Kita akan mengembangkan ${\displaystyle u_{n}}$ menjadi basis seperti ini, ${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$ dan memasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh

${\displaystyle a(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i})=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})}$ untuk ${\displaystyle i=1,\cdots ,n}$.

Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear ${\displaystyle A_{u}=f}$, dimana

${\displaystyle a_{i}j=a(e_{j},e_{i})}$ dengan ${\displaystyle f_{i}=f(e_{i})}$

Matriks Simetris

Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah simetris jika dan hanya jika bentuk bilinear ${\displaystyle a(\cdots ,\cdots )}$ adalah simetris.

Analisis dari Metode Galerkin

Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetris, yaitu:

${\displaystyle a(u,v)=a(u,v)}$.

Karena ini bukan benar-benar sebuah batas dari metode Galerkin, aplikasi dari teori standar ini menjadi sangat mudah. Selanjutnya, metode Petrov-Galerkin dibutuhkan dalam kasus non-simetris. Analisis dari metode ini dihasilkan dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah well-posed problem menurut Hadamard dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi yang tunggal. Pada langkah kedua, kita mempelajari pendekatan sifat dari solusi Galerkin ${\displaystyle u_{n}}$ .

Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:

• Pembatasan: untuk setiap ${\displaystyle u,v\in V}$ adalah benar bahwa

${\displaystyle a(u,v)\leq C\lVert u\rVert \lVert v\rVert }$ untuk konstanta C > 0.

• Eliptisitas: untuk setiap setiap ${\displaystyle u\in V}$ adalah benar bahwa

${\displaystyle a(u,v)\geq c\lVert u\rVert ^{2}}$ untuk konstanta c > 0 .

Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam formulasi lemah. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).

Well-posedness dari metode Galerkin

Karena ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi ${\displaystyle V_{n}}$. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.

Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)

Galat ${\displaystyle e_{n}}$ = u – ${\displaystyle u_{n}}$ antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:

${\displaystyle \lVert e_{n}\rVert }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\frac {C}{c}}}$ ${\displaystyle {\overset {inf}{v_{n}\in V_{n}}}}$ ${\displaystyle \lVert u-v_{n}\rVert }$.

Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta ${\displaystyle {\frac {C}{c}}}$, solusi Galerkin ${\displaystyle u_{n}}$ adalah mendekati solusi awal u sebagai vector lainnya dalam ${\displaystyle V_{n}}$ . Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang ${\displaystyle V_{n}}$, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.

Bukti

Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk bilinear(pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ sehingga:

${\displaystyle c\lVert u\rVert ^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\lVert e_{n}\rVert \lVert u-v_{n}\rVert }$.

Bagi dengan ${\displaystyle c\lVert e_{n}\rVert }$ dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma ${\displaystyle v_{h}}$.