Koprima (bilangan)

Dua bilangan bulat a dan b dikatakan koprima (relatif prima atau saling prima) apabila FPB kedua bilangan adalah 1. Contohnya adalah 4 dan 9 karena fpb(4,9)=1. Karena algoritme Euklidean merupakan cara yang cepat untuk menghitung FPB, algoritme tersebut juga merupakan cara yang cepat untuk memeriksa sifat koprima.

Notasi

Notasi standar untuk bilangan bulat yang relatif prima a dan b adalah: gcd(a, b) = 1 (bahasa Indonesia: fpb(a, b) = 1 dan (a, b) = 1. Pada makalah tahun 1989, Graham, Knuth, dan Patashnik mengusulkan notasi $a\perp b$ digunakan untuk menandakan bahwa a dan b relatif prima dan istilah "prima" digunakan bukannya koprima (misalnya a prima terhadap b).^[1]

Sifat

Bilangan 1 dan −1 adalah satu-satunya bilangan bulat yang koprima dengan setiap bilangan bulat, dan satu-satunya yang koprima dengan 0.

Beberapa pernyataan berikut bersifat ekuivalen dengan menyebut a dan b koprima:

Tidak ada bilangan prima yang membagi baik a maupun b.
Terdapat bilangan bulat x dan y sehingga ax + by = 1 (see identitas Bézout).
Bilangan bulat b punya invers perkalian modulo a, artinya ada suatu bilangan bulat y yang menyebabkan by ≡ 1 (mod a).
Setiap pasang relasi kekongruenan dengan variabel x, dalam bentuk x ≡ k (mod a) dan x ≡ m (mod b), punya penyelesaian (teorema sisa Tiongkok); bahkan penyelesaiannya bisa digambarkan dengan satu relasi kekongruenan modulo ab.
Kelipatan persekutuan terkecil a dan b sama dengan hasil kali ab, dalam bentuk persamaan lcm(a, b) = ab.^[2]

Catatan kaki

^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, hlm. 115, ISBN 0-201-14236-8
^ Ore 1988, p. 47