Fungsi-H Fox

Dalam matematika, fungsi-H Fox H ( x ) {\displaystyle H(x)} adalah sebuah perampatan dari fungsi-G Meijer dan fungsi Fox–Wright yang diperkenalkan oleh Charles Fox (1961). Fungsi tersebut didefinisikan oleh integral Mellin–Barnes

H p , q m , n [ z | ( a 1 , A 1 ) ( a 2 , A 2 ) … ( a p , A p ) ( b 1 , B 1 ) ( b 2 , B 2 ) … ( b q , B q ) ] = 1 2 π i ∫ L ∏ j = 1 m Γ ( b j + B j s ) ∏ j = 1 n Γ ( 1 − a j − A j s ) ∏ j = m + 1 q Γ ( 1 − b j − B j s ) ∏ j = n + 1 p Γ ( a j + A j s ) z − s d s {\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds}

dimana L {\displaystyle L} adalah kontur tertentu yang memisahkan kutub dari dua faktor dalam penyebut. Bandingkan dengan fungsi-G Meijer,

G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 , … , b q | z ) = 1 2 π i ∫ L ∏ j = 1 m Γ ( b j − s ) ∏ j = 1 n Γ ( 1 − a j + s ) ∏ j = m + 1 q Γ ( 1 − b j + s ) ∏ j = n + 1 p Γ ( a j − s ) z s d s {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds}

Kasus khusus untuk yang H FOx dikurangi menjadi G Meijer adalah A j = B k = C {\displaystyle A_{j}=B_{k}=C} , C > 0 {\displaystyle C>0} , untuk j = 1 … p {\displaystyle j=1\dots p} dan k = 1 … q {\displaystyle k=1\dots q} ((Srivastava 1984, hlm. 50):

H p , q m , n [ z | ( a 1 , C ) ( a 2 , C ) … ( a p , C ) ( b 1 , C ) ( b 2 , C ) … ( b q , C ) ] = 1 C G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 , … , b q | z 1 / C ) {\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)&\ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z^{1/C}\right)}

Sebuah perampatan dari fungsi-H Fox diberikan oleh Innayat Hussain (AA 1987). Untuk sebuah perampatan fungsi ini lebih lanjut, berguna dalam fisika dan statistika, lihat (Rathie 1997).

Referensi

  • Fox, Charles (1961), "The G and H functions as symmetrical Fourier kernels", Transactions of the American Mathematical Society, 98: 395–429, doi:10.2307/1993339, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993339, MR 0131578 
  • Innayat-Hussain, AA (1987), "New properties of hypergeometric series derivable from Feynman integrals. I: Transformation and reduction formulae", J. Phys. A: Math. Gen., 20: 4109–4117, doi:10.1088/0305-4470/20/13/019 
  • Innayat-Hussain, AA (1987), "New properties of hypergeometric series derivable from Feynman integrals. II: A generalization of the H-function", J. Phys. A: Math. Gen., 20: 4119–4128, doi:10.1088/0305-4470/20/13/020 
  • Kilbas, Anatoly A. (2004), H-Transforms: Theory and Applications, CRC Press, ISBN 978-0415299169 
  • Mathai, A. M.; Saxena, Ram Kishore (1978), The H-function with applications in statistics and other disciplines, Halsted Press [John Wiley & Sons], New York-London-Sidney, ISBN 978-0-470-26380-8, MR 0513025 
  • Mathai, A. M.; Saxena, Ram Kishore; Haubold, Hans J. (2010), The H-function, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-0915-2, MR 2562766 
  • Rathie, Arjun K. (1997), "A new generalization of generalized hypergeometric function", Le Matematiche, LII: 297–310 .
  • Srivastava, H. M.; Gupta, K. C.; Goyal, S. P. (1982), The H-functions of one and two variables, New Delhi: South Asian Publishers Pvt. Ltd., MR 0691138 
  • Srivastava, H. M.; Manocha, H. L. (1984). A treatise on generating functions. ISBN 0-470-20010-3. 

Pranala luar

  • hypergeom Diarsipkan 2023-03-01 di Wayback Machine. pada GitLab