Deret konvergen

Dalam matematika, deret takhingga (bahasa Inggris: Infinite sequence) adalah hasil jumlah suku-suku dari suatu barisan takhingga bilangan. Lebih tepatnya, diberikan suatu barisan takhingga ${\displaystyle \left(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \right)}$. Maka, dapat dikonstruksikan deret takhingga S sebagai berikut

${\displaystyle S=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$

Hasil penjumlahan parsial ke-n (yang dinotasikan dengan S_n) adalah hasil jumlah n suku pertama barisan tersebut; yaitu,

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

Sebuah deret takhingga akan konvergen jika barisan ${\displaystyle \left(S_{1},S_{2},S_{3},\dots \right)}$ dari jumlahan parsialnya mendekati suatu limit; itu artinya, saat menambahkan suku ${\displaystyle a_{k+1}}$ ke ${\displaystyle S_{k}}$, maka hasil jumlahan parsial akan semakin dekat dengan limitnya. Lebih tepatnya, deret tersebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan ${\displaystyle \ell }$ sedemikian sehingga untuk setiap sembarang bilangan positif ${\displaystyle \varepsilon }$ yang kecil, terdapat bilangan bulat ${\displaystyle N}$ (yang cukup besar) sedemikian sehingga untuk setiap ${\displaystyle n\geq N}$, maka

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon }$

Jika deretnya konvergen, bilangan ${\displaystyle \ell }$ (yang bernilai tunggal) disebut sebagai hasil jumlah deretnya.

Setiap deret yang tidak konvergen disebut sebagai deret divergen.

Contoh dari deret konvergen dan divergen

• Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif menghasilkan deret divergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik) :

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty }$

• Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif yang berganti tanda (selang seling) menghasilkan deret konvergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik selang seling) :

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• Barisan invers perkalian dari bilangan prima menghasilkan deret divergen (sehingga himpunan bilangan prima termasuk "besar"; lihat divergensi dari jumlah invers bilangan prima) :

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty }$

• Barisan invers perkalian dari bilangan segitiga menghasilkan deret konvergen :

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2}$

• Barisan invers perkalian dari bilangan faktorial menghasilkan deret konvergen (lihat e) :

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+{\frac {1}{720}}+\cdots =e-1}$

• Barisan invers perkalian dari bilangan kuadrat sempurna menghasilkan deret konvergen (deret ini dikenal sebagai masalah Basel) :

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}}$

• Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 menghasilkan deret konvergen (sehingga himpunan perpangkatan 2 bernilai "kecil") :

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2}$

• Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan ${\displaystyle n>1}$ menghasilkan deret konvergen :

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 yang berganti tanda juga menghasilkan deret konvergen :

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}}$

• Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan ${\displaystyle n>1}$ menghasilkan deret konvergen :

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• Barisan invers perkalian dari bilangan Fibonacci menghasilkan deret konvergen (lihat konstanta ψ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

Uji kekonvergenan

Terdapat beberapa metode untuk menentukan apakah suatu deret itu konvergen atau divergen.

Uji perbandingan. Suku-suku pada barisan ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ akan dibandingkan dengan barisan lain ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$. Jika, ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ untuk setiap n, dan ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ konvergen, maka ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ juga demikian.

Akan tetapi, jika ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ untuk setiap n, dan ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ divergen, maka demikian juga ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Uji rasio. Diasumsikan untuk setiap n, ${\displaystyle a_{n}}$ tidak sama dengan nol. Misalkan terdapat suatu nilai ${\displaystyle r}$ sedemikian sehingga

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r}$

• Jika r < 1, maka deretnya akan konvergen mutlak.
• Jika r > 1, maka deretnya divergen.
• Jika r = 1, uji rasionya gagal, dan deretnya bisa saja konvergen maupun divergen.

Uji akar atau uji akar ke-n. Misalkan suku-suku pada barisan yang akan diselidiki merupakan bilangan non-negatif. Didefinisikan r sebagai berikut :

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}}$

dengan "lim sup" adalah limit superior (hasilnya mungkin saja ${\displaystyle r=\infty }$)

• Jika r < 1, maka deretnya konvergen.
• Jika r > 1, maka deretnya divergen.
• Jika r = 1, uji akarnya gagal, dan deretnya bisa saja konvergen maupun divergen.

Uji rasio dan uji akar sama-sama menggunakan perbandingan dengan deret geometri, sehingga keduanya bekerja dalam situasi serupa. Malahan, jika uji rasio berhasil (dalam artian, hasil limitnya ada dan tidak sama dengan 1), maka uji akar juga demikian; akan tetapi, kebalikannya tidak demikian. Maka dari itu, uji akar secara umum lebih dapat diandalkan, walau dalam penerapannya, hasil limitnya seringkali sulit untuk dihitung.

Uji integral. Suatu deret dapat dibandingkan dengan integral untuk menunjukkan konvergensi atau tidak. Misalkan ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ adalah fungsi positif dan monoton turun. Jika

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty }$

maka deretnya konvergen. Tetapi jika integralnya divergen, maka deretnya juga demikian.

Uji perbandingan limit. Jika ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$, and nilai limit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ada dan bukan nol, maka ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen jika dan hanya jika ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ konvergen.

Uji deret selang-seling, dikenal juga dengan kriteria Leibniz. Suatu deret selang-seling dalam bentuk ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}$ akan konvergen, kika ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ merupakan fungsi monoton turun, dan ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Uji kondensasi Cauchy. Jika ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ merupakan barisan positif yang monoton turun, maka ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen jika dan hanya jika ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{\left\{2^{k}\right\}}}$ konvergen.

Uji Dirichlet

Uji Abel

Konvergensi bersyarat dan mutlak

Untuk setiap barisan ${\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}$, nilai ${\displaystyle a_{n}\leq \left|a_{n}\right|}$ untuk setiap n, sehingga

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$

Ini mengartkan bahwa jika ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ konvergen, maka ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ juga konvergen (sayangnya, ini tidak berlaku untuk sebaliknya).

Jika deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ konvergen, maka deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ disebut konvergen mutlak. Sebagai contoh, Deret Maclaurin dari fungsi eksponensial termasuk konvergen mutlak, untuk setiap input variabel bilangan kompleks.

Jika deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen tetapi deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ divergen, maka deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ disebut konvergen bersyarat. Sebagai contoh, deret Maclaurin dari fungsi logaritma ${\displaystyle \ln \left(1+x\right)}$ termasuk konvergen bersyarat untuk nilai x = 1.

Teorema deret Riemann menyatakan bahwa jika suatu deret konvergen bersyarat, maka dimungkinkan untuk menyusun ulang suku-suku deretnya dengan cara tertentu sehingga deretnya konvergen ke nilai apapun, atau bahkan divergen.

Lihat juga

• Daftar deret matematika

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric (2005). Teorema deret Riemann. Diakses tanggal 16 Mei 2005.