Daftar topik analisis real

Daftar berikut merupakan topik yang berkaitan dengan analisis real/riil.

Topik umum

Limit

• Limit barisan
  • Limit berurut bagian – limit dari suatu subbarisan
• Limit fungsi (lihat Daftar limit untuk sebuah daftar limit fungsi umum)
  • Limit sepihak – baik dari dua limit fungsi variabel real ${\displaystyle x}$, ketika ${\displaystyle x}$ mendekati sebuah titik dari atas atau bawah
  • Teorema apit – menerima limit fungsi melalui perbandingan dengan dua fungsi lainnya
  • Notasi O besar – digunakan untuk menggambarkan perilaku batas fungsi ketika argumen cenderung terhadap sebuah nilai khusus atau takhingga, biasanya dalam istilah fungsi yang lebih sederhana

Barisan dan deret

• Barisan aritmetika – sebuah barisan bilangan sehingga beda di antara suku berturutan adalah konstan
  • Barisan aritmetika rampat – sebuah barisan bilangan sehingga beda di antara suku berturutan dapat menjadi salah satu dari beberapa kemungkinan konstan
• Barisan geometrik – sebuah barisan bilangan sehingga setiap suku berturutan ditemukan dengan mengalikan yang sebelumnya oleh sebuah bilangan taknol tetap
• Barisan harmonik – sebuah barisan dibentuk dengan mengambil timbal-balik dari suku barisan aritmetika
• Barisan hingga – lihat barisan
• Barisan takhingga – lihat barisan
• Barisan divergen – lihat limit barisan atau deret divergen
• Barisan konvergen – lihat limit barisan atau deret konvergen
  • Barisan Cauchy – sebuah barisan yang unsurnya menjadi sembarang tutup dengan satu sama lain karena kemajuan barisan
• Deret konvergen – sebuah deret yang barisan jumlah parisal konvergen
• Deret divergen – sebuah deret yang barisan jumlah parsial divergen
• Deret pangkat – sebuah deret dari bentuk ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$
  • Deret Taylor – sebuah deret dari bentuk ${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$
    • Deret Maclaurin – lihat deret Taylor
      • Deret binomial – deret Macluarin dari fungsi ${\displaystyle f}$ diberikan oleh ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$
• Deret telescoping
• Deret selang-seling
• Deret geometrik
  • Deret geometrik divergen
  • Deret harmonik
  • Deret Fourier
  • Deret Lambert

Metode penjumlahan

• Penjumlahan Cesàro
• Penjumlahan Euler
• Penjumlahan Lambert
• Penjumlahan Borel
• Penjumlahan oleh bagian – transformasi penjumlahan darab menjadi penjumlahan lain
• Purata Cesàro
• Rumus penjumlahan Abel

Topik lanjutan yang lebih banyak

• Konvolusi
  • Darab Cauchy – merupakan konvolusi diskret dari dua barisan
• Barisan Farey – barisan pecahan tereduksi lengkap di antara 0 dan 1
• Ayunan – merupakan perilaku barisan bilangan real atau sebuah fungsi bernilai real, yang tidak konvergen, tetapi juga tidak divergen ke ${\displaystyle +\infty }$ atau ${\displaystyle -\infty }$; dan juga merupakan sebuah ukuran kuantitatif untuk hal tersebut.
• Bentuk tak tentu – ekspresi aljabar yang didapatkan dalam konteks limit. Bentuk tak tentu termasuk ${\displaystyle 0^{0}}$, ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$, ${\displaystyle 1^{\infty }}$, ${\displaystyle \infty -\infty }$, ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$, ${\displaystyle 0\times \infty }$, dan ${\displaystyle \infty ^{0}}$.

Kekonvergenan

• Kekonvergenan sesetitik, Kekonvergenan seragam
• Kekonvergenan mutlak, Kekonvergenan bersyarat
• Kekonvergenan normal
• Radius kekonvergenan

Uji kekonvergenan

• Uji integral untuk kekonvergenan
• Uji kekonvergenan Cauchy
• Uji rasio
• Uji perbandingan langsung
• Uji perbandingan limit
• Uji akar
• Uji deret selang-seling
• Uji Dirichlet
• Teorema Stolz–Cesàro – merupakan sebuah kriteria untuk membuktikan kekonvergenan barisan

Fungsi

• Fungsi peubah real
• Fungsi multipeubah real
• Fungsi kontinu
  • Fungsi kontinu di mana-mana
  • Fungsi Weierstrass
• Fungsi mulus
  • Fungsi analitik
    • Fungsi kuasi analitik
  • Fungsi mulus takanalitik
  • Fungsi rata
  • Fungsi benjol
• Fungsi terdiferensialkan
• Fungsi terintegralkan
  • Fungsi kuadrat terintegralkan, fungsi p-terintegralkan
• Fungsi monotonik
  • Teorema Bernstein pada fungsi monotonik – menyatakan bahwa setiap fungsi bernilai-real pada setengah garis ${\displaystyle [0,\infty )}$ yang keseluruhannya monoton merupakan sebuah campuran fungsi eksponensial
• Fungsi invers
• Fungsi cembung, fungsi cekung
• Fungsi singular
• Fungsi harmonik
  • Fungsi harmonik lemah
  • Fungsi cembung wajar
• Fungsi rasional
• Fungsi ortogonal
• Fungsi implisit dan eksplisit
  • Teorema fungsi implisit – memungkinkan relasinya menjadi diubah ke fungsi
• Fungsi terukurkan
• Fungsi bintang satu Baire
• Fungsi simetrik
• Ranah
• Kodomain
  • Citra
• Penyangga
• Diferensial fungsi

Kekontinuan

• Kekontinuan seragam
  • Modulus kekontinuan
• Kekontinuan Lipschitz
• Semikekontinuan
• Ekuikontinu
• Kekontinuan mutlak
• Syarat Hölder – syarat untuk kekontinuan Hölder

Sebaran

• Fungsi delta Dirac
• Fungsi langkah Heaviside
• Transformasi Hilbert
• Fungsi Green

Keragaman

• Keragaman terbatas
• Keragaman jumlah keseluruhan

Turunan

• Turunan kedua
  • Titik belok – ditemukan dengan menggunakan turunan kedua
• Turunan berarah, Turunan total, Turunan parsial

Kaidah pendiferensialan

• Kelinearan pendiferensialan
• Kaidah darab
• Kaidah hasil-bagi
• Kaidah rantai
• Teorema fungsi invers – memberikan syarat yang cukup untuk sebuah fungsi dapat dibalikkan dalam sebuah lingkungan titik dalam ranahnya, juga memberikan sebuah rumus untuk turunan dari fungsi invers.

Pendiferensialan dalam geometri dan topologi

• Manifold terdiferensial
• Struktur terdiferensial
• Perendaman – sebuah pemetaan terdiferensial di antara manifold terdiferensial yang diferensialnya surjektif dimana-mana

Integral

• Antiturunan
  • Teorema dasar kalkulus – sebuah teorema antiturunan
• Integral lipat
• Integral teriterasi
• Integral takwajar
  • Nilai utama Cauchy – metode untuk menentukan nilai untuk integral takwajar tertentu
• Integral garis
• Teorema Anderson – mengatakan bahwa integral dari sebuah fungsi yang terintegralkan, simetrik, modus-tunggal, dan taknegatif lebih dari sebuah benda cembung ${\displaystyle n}$-dimensi ke dalam yang menuju asalnya

Pengintegralan dan teori ukuran

• Integral Riemann, Jumlah Riemann
  • Integral Riemann–Stieltjes
• Integral Darboux
• Pengintegralan Lebesgue

Teorema dasar

• Teorema kekonvergenan monoton – berkaitan kemonotonn dengan kekonvergenan
• Teorema nilai antara – menyatakan bahwa untuk setiap nilai di antara batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari citra fungsi kontinu, terdapat setidaknya satu titik dalam ranahnya bahwa fungsi memetakan ke nilai tersebut
• Teorema Rolle – pada dasarnya menyatakan bahwa sebuah fungsi terdiferensialkan yang memperoleh nilai yang sama pada dua titik yang berbeda harus memiliki sebuah titik di suatu tempat di antaranya dimana turunan pertama adalah nol
• Teorema nilai purata – yang memberikan sebuah busur lengkung terdiferensialkan, terdapat setidaknya satu titik pada busur di mana turunan dari lengkung sama dengan turunan "rerata" dari busur
• Teorema Taylor – memberikan sebuah aproksimasi dari ${\displaystyle k}$ dikali fungsi terdiferensialkan di sekitar sebuah titik yang diberikan oleh polinomial Taylor orde-${\displaystyle k}$
• Aturan L'Hôpital – menggunakan turunan untuik membantu mengevaluasi limit yang melibatkan bentuk tak tentu
• Teorema Abel – berkaitan limit dari deret pangkat dengan jumlah koefisiennya
• Teorema balikan Lagrange – memberikan deret Taylor dari invers sebuah fungsi analitik
• Teorema Darboux – menyatakan bahwa semua fungsi yang hasilnya dari pendiferensialan dari fungsi lain memiliki sifat nilai antara; citra dari sebuah selang juga merupakan sebuah selang
• Teorema Heine–Borel – terkadang digunakan sebagai sifat yang mendefinisikan kekompakan
• Teorema Bolzano–Weierstrass – menyatakan bahwa setiap barisan yang dibatasi di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ memiliki sebuah subbarisan konvergen
• Teorema nilai ekstrem – menyatakan bahwa jika sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ kontinu di selang terbatas dan tertutup ${\displaystyle [a,b]}$, maka ini harus memperoleh sebuah maksimum dan sebuah minimum

Topik-topik dasar

Bilangan

Bilangan real

• Konstruksi dari bilangan real
  • Bilangan asli
  • Bilangan bulat
  • Bilangan rasional
  • Bilangan irasional
• Kelengkapan dari bilangan real
• Sifat batas atas terkecil
• Garis bilangan real
  • Garis bilangan real yang diperpanjang
  • Potongan Dedekind

Bilangan khas

• 0
• 1
  • 0.999...
• Takhingga

Himpunan

• Himpunan terbuka
• Lingkungan
• Himpunan Cantor
• Himpunan jabaran (matematika)
• Kelengkapan
• Limit atas dan limit bawah
  • Supremum
  • Infimum
• Selang
  • Partisi selang

Peta

• Pemetaan kontraksi
• Peta metrik
• Titik tetap – sebuah titik fungsi yang memetakan ke dirinya sendiri

Alat matematis yang dipergunakan

Ekspresi takhingga

• Pecahan berlanjut
• Deret
• Darab takhingga

Pertidaksamaan

• Pertidaksamaan segitiga
• Pertidaksamaan Bernoulli
• Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
• Pertidaksamaan Hölder
• Pertidaksamaan Minkowski
• Pertidaksamaan Jensen
• Pertidaksamaan Chebyshev
• Pertidaksamaan purata aritmetik dan geometrik

Purata

• Purata rampat
• Purata Pythagoras
  • Purata aritmetika
  • Purata geometrik
  • Purata harmonik
• Purata geometrik–harmonik
• Purata aritmetika–geometrik
• Purata berbobot
• Purata kuasi-aritmetika

Polinomial ortogonal

• Polinomial ortogonal klasik
  • Polinomial Hermite
  • Polinomial Laguerre
  • Polinomial Jacobi
  • Polinomial Gegenbauer
  • Polinomial Legendre

Ruang

• Ruang Euclides
• Ruang metrik
  • Teorema titik tetap Banach – menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan-diri tertentu dari ruang metrik, menyediakan metode untuk mencarinya
  • Ruang metrik lengkap
• Ruang topologis
  • Ruang fungsi
    • Ruang barisan
  • Ruang kompak

Ukuran

• Ukuran Lebesgue
• Ukuran luar
  • Ukuran Hausdorff
• Teorema kekonvergenan terdpminasi – menyediakan syarat yang cukup di mana dua limit tata cara yang bertukar, yaitu pengintegralan Lebesgue dan hampir di mana-mana kekonvergenan dari sebuah barisan fungsi.

Medan himpunan

• Aljabar sigma

Tokoh kesejarahan

• Michel Rolle (1652–1719)
• Brook Taylor (1685–1731)
• Leonhard Euler (1707–1783)
• Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)
• Joseph Fourier (1768–1830)
• Bernard Bolzano (1781–1848)
• Augustin Cauchy (1789–1857)
• Niels Henrik Abel (1802–1829)
• Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)
• Karl Weierstrass (1815–1897)
• Eduard Heine (1821–1881)
• Pafunty Chebyshev (1821–1894)
• Leopold Kronecker (1823–1891)
• Bernhard Riemann (1826–1866)
• Richard Dedekind (1831–1916)
• Rudolf Lipschitz (1832–1903)
• Camille Jordan (1838–1922)
• Jean Gaston Darboux (1842–1918)
• Georg Cantor (1845–1918)
• Ernesto Cesàro (1859–1906)
• Otto Hölder (1859–1937)
• Hermann Minkowski (1864–1909)
• Alfred Tauber (1866–1942)
• Felix Hausdorff (1868–1942)
• Émile Borel (1871–1956)
• Henri Lebesgue (1875–1941)
• Waclaw Sierpiński (1882–1969)
• Johann Radon (1887–1956)
• Karl Menger (1902–1985)

Medan analisis yang berkaitan

• Analisis asimtotik – mempelajari sebuah metode menjelaskan perilaku batas
• Analisis cembung – mempelajari sifat-sifat fungsi cembung dan himpunan cembung
  • Daftar topik kecembungan
• Analisis harmonik – mempelajari wakilan fungsi atau sinyal sebagai superposisi gelombang dasar
  • Daftar topik analisis harmonik
• Analisis Fourier – mempelajari deret Fourier dan transformasi Fourier
  • Daftar topik analisis Fourier
  • Daftar transformasi Fourier yang berkaitan
• Analisis kompleks – mempelajari keberadaan analisis real dengan memasukkan bilangan kompleks
• Analisis fungsional – mempelajari ruang vektor yang diberikan dengna struktur limit yang berkaitan dan operator linear bertindak di ruang ini
• Analisis takstandar – mempelajari analisis matematis menggunakan perlakuan ketelitian infinitesimal.

Lihat pula

• Kalkulus – kalkulus klasik Newton dan Leibniz
• Kalkulus takstandar, sebuah penerapan yang cermat mengenai infinitesimal, dalam arti analisis takstandar, untuk kalkulus klasik Newton dan Leibniz.