Akar satuan

Terdapat lima akar satuan di bidang kompleks. Akar-akar satuan tersebut ditandai dengan titik berwarna biru.

Dalam matematika, akar satuan (bahasa Inggris: root of unity),[a] berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Definisi umum

Akar satuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan

z n = 1. {\displaystyle z^{n}=1.}

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah

exp ⁡ ( 2 k π i n ) = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n , k = 0 , 1 , … , n − 1. {\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}

Sifat dasar

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n, sebab

( z k ) n = z k n = ( z n ) k = 1 k = 1. {\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-n:

1 z = z − 1 = 1 ⋅ z − 1 = z n ⋅ z − 1 = z n − 1 = z ¯ . {\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}

Sifat pada grup

Grup semua akar satuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika xm = 1 dan yn = 1, maka (x−1)m = 1, dan (xy)k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar satuan ke-n

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n. Oleh karena itu, akar satuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x . {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}

Substitusi x = 2πn menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu

( cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n ) n = cos ⁡ 2 π + i sin ⁡ 2 π = 1 , {\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}

akan tetapi

( cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n ) k = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n ≠ 1 {\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}

untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,

cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}

merupakan akar satuan primitif ke-n.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).

Rumus Euler

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}

yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk

e 2 π i k n , 0 ≤ k < n . {\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}

Grup siklik

Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.

Catatan

  1. ^ Terkadang akar satuan disebut juga sebagai bilangan de Moivre.