Zérusosztó

Az absztrakt algebrában egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla ${\displaystyle a}$ elemét bal oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla ${\displaystyle b}$ eleme, hogy ${\displaystyle ab=0}$ teljesül.

Hasonlóan, egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla ${\displaystyle b}$ elemét jobb oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla ${\displaystyle a}$ eleme, hogy ${\displaystyle ab=0}$ teljesül.

Azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle (A,\cdot )}$ grupoid nemnulla ${\displaystyle a\in A}$ eleme zérusosztó (vagy más néven nullosztó), ha egyidejűleg bal oldali zérusosztó és jobb oldali zérusosztó, azaz valamely nemnulla ${\displaystyle b,c\in A}$ elemekre ${\displaystyle b\cdot a=0}$ és ${\displaystyle a\cdot c=0}$ teljesül.

Kommutatív struktúrákban a bal oldali zérusosztók és a jobb oldali zérusosztók megegyeznek, azaz minden bal oldali zérusosztó zérusosztó.

Az ${\displaystyle (A,\cdot )}$ grupoid zérusosztómentes (nullosztómentes), ha nincs zérusosztója, azaz ha ${\displaystyle a,b\neq 0}$, akkor ${\displaystyle ab\neq 0}$.

Példák

• Az egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűjében nincsenek zérusosztók, azaz zérusosztómentes, de a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ gyűrűben (ahol az összeadást és a szorzást komponensenként végrehajtott összeadásként, illetve szorzásként definiáljuk) a (0,1) × (1,0) = (0,0), tehát (0,1) és (1,0) zérusosztók.
• A 2x2-es mátrixok gyűrűjében az

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}}$

elem zérusosztó, mert

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

illetve ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

A ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ gyűrűben 2·3 = 0.

• Viszont általában minden ferdetest mentes a zérusosztóktól.

Tulajdonságok

A bal oldali zérusosztóknak és a jobb oldali zérusosztóknak sohasem létezik az inverze, mert ha a elem inverze létezik és ab = 0, akkor 0 = a^‒10 = a^‒1ab = b.

Gyűrűkben minden az egységelemtől különböző nemnulla idempotens elem zérusosztó, mivel a² = a következménye, hogy a(a ‒ 1) = (a ‒ 1)a = 0 is teljesül. A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei szintén zérusosztók.

A zérusosztóknak fontos szerepe van az egyenletek megoldhatóságában: ab=ac-ból akkor következik b=c, ha a nem (bal oldali) nullosztó.

A zérusosztómentes gyűrűkben minden elem additív rendje megegyezik, ezt a közös rendet a gyűrű karakterisztikájának hívjuk. Az egységelemes, kommutatív, zérusosztómentes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Kapcsolódó szócikkek

• Integritástartomány

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)

További információk

• Alice és Bob - 15. rész: Alice és Bob az absztrakció útján