Trigamma-függvény

A trigamma-függvény, ψ1(z), a második poligamma-függvény. Definíciója:[1]

ψ 1 ( z ) = d 2 d z 2 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)} .

Ebből a definícióból következik:

ψ 1 ( z ) = d d z ψ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}

Ahol ψ(z) a digamma-függvény. A trigamma-függvény definiálható sorozat összegeként is:

ψ 1 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) 2 , {\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}

melynek a Hurwitz zéta-függvény egy speciális esete: ψ 1 ( z ) = ζ ( 2 , z ) . {\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).{\frac {}{}}}

Megjegyzés: a két utóbbi formula csak akkor érvényes, ha 1 - z nem természetes szám

Trigamma függvény ψ1(z), , a komplex síkon, erősebb színek jelzik a zéróhoz közeli értékeket

Tulajdonságok

Dupla integrált forma

ψ 1 ( z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 y x z − 1 y 1 − x d x d y {\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,dx\,dy}

Kapcsolat a geometriai sorral

ψ 1 ( z ) = − ∫ 0 1 x z − 1 ln ⁡ x 1 − x d x {\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}

Bernoulli-számokkal kifejezve

ψ 1 ( 1 + z ) = 1 z − 1 2 z 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k z 2 k + 1 {\displaystyle \psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}} .

Rekurzív sorozat

A trigamma-függvény kifejezhető rekurzív sorozattal:

ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

Reflexiós formulával

ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 csc 2 ⁡ ( π z ) . {\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}

Speciális értékek

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 K {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K}
ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}}
ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 {\displaystyle \psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

ahol K a Catalan-állandó

Jegyzetek

  1. ↑ http://mathworld.wolfram.com/TrigammaFunction.html

Források

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 0-486-61272-4  

Kapcsolódó szócikkek

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap