Számtartományok

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. (2022 szeptemberéből)

A számtartomány számokból álló halmaz, röviden számhalmaz. A történelem folyamán ahogy nőtt az igény az egyre bonyolultabb dolgok (számbeli) kifejezésére, úgy nőtt az igény a számhalmaz(ok) bővítésére is. Így jutottunk el a természetes számoktól a komplex számokig, és közben mindegyik új számhalmaznak a régi a részhalmaza volt.

1. Természetes számok halmaza Ez a legalapvetőbb számhalmaz, amelybe beletartoznak a 0, 1, 2, 3,… vagyis ha egy halmaz tartalmazza a 0, 1 számokat és minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. A számjegyeket az ún. arab számjegyekkel ábrázoljuk (például 1, 2, 16, 36156 stb.). Jelölése N. Nem minden országban tartozik azonban bele a természetes számok halmazába a nulla. A matematikusok nem értenek egyet abban, hogy a nulla természetes szám-e. A félreértések elkerülése végett mindig tisztázni kell, hogy melyik halmazról van szó: N₀ beleértve, N⁺ nem értve bele. A matematika tanításában országonként változhat a megállapodás; például Magyarországon úgy tanítják, hogy a nulla természetes szám, míg Szlovákiában nem.

2. Egész számok halmaza A természetes számok negatív egész számokkal (és valahol nullával) kibővített halmaza. A negatív számokat a gyakorlatban is széles körben használjuk, elég csak az időjárásra (például „–5 °C van kint”), vagy a banki átutalásokra (például –5000 Ft azt jelenti, hogy 5000 forintot vettek le a számláról stb.) gondolni. Jele Z.

3. Racionális számok Amikor már nem volt elég az egész számok halmaza se a matematikai műveletekhez (például ${\displaystyle {\frac {5}{2}}=2{,}5}$, vagy ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\approx 0{,}{\bar {3}}}$), akkor az egész számok halmaza újabb számokkal bővült, mégpedig azokkal, amelyeket felírhatunk tört formájában (vagyis ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, ahol ${\displaystyle b\neq 0}$). Jelölése Q.

4. Valós számok Idővel a racionális számhalmaz is kevésnek bizonyult egyes természeti jelenségek leírására (például a kör kerületének és a sugarának az aránya), így bevezették az irracionális vagy valós számrendszert, amely a már meglévő (racionális) számokat további számokkal (például gyökjel alatti kifejezések értéke, vagy az ún. transzcendens számokkal stb.) egészítette ki. Jelölése R.

5. Komplex számok A valós számok sokáig a tudósok minden igényét kielégítették (az egyszerű emberről nem is beszélve), de az idő múltával egyre inkább szem elé került az egyetlen hibája, hogy nem tartoznak bele a negatív számok gyökei, hiszen például ${\displaystyle (-2)^{2}=4,{\sqrt {4}}=\pm 2}$, de ${\displaystyle {\sqrt {-4}}=?}$. A megoldást a komplex számok halmaza adta (jelölése C), melynek alapja az ún. ${\displaystyle i}$ imaginárius egység, melyre érvényes, hogy ${\displaystyle i^{2}=-1}$, vagy a négyzetgyökvonás jelének értelmezését kibővítve: ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. Így most már megoldható az ${\displaystyle x^{2}=-4}$ egyenlet, amelynek két gyöke a komplex számok halmazán ${\displaystyle 2i}$ és ${\displaystyle -2i}$.

Az elemi matematikában az összes számhalmaz a következő részhalmaza, vagyis ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}$ Amennyiben a számtartományok formális és nem-axiomatikus eszközökkel való felépítését fogadjuk el, ezen szigorú és rendszeres algebrai vagy analitikus konstrukciók során a fenti relációlánc egyik-másik vagy akár az összes eleme érvénytelenné válhat. A „felsőbb” matematikában ezen tartományok nem feltétlenül részhalmazai egymásnak, hanem egy gyengébb kapcsolat van köztük, nevezetesen, beágyazhatóak egymásba.

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!