Recamán-sorozat

A Recamán-sorozat természetes számok ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...}$ végtelen sorozata, amelyet a következő rekurzióval definiálunk: ${\displaystyle a_{0}=0}$. Ha ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n-1}}$ értékét már meghatároztuk, akkor ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}-n}$ ha az így kapott szám pozitív és még nem szerepel az eddig kiszámított tagok között, különben pedig ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+n}$. A sorozat első néhány tagja tehát 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21 (A005132 sorozat az OEIS-ben). A Recamán-sorozat megalkotójáról, Bernardo Recamán Santos(wd) kolumbiai matematikusról kapta a nevét.

Példák

• ${\displaystyle a_{4}=2}$. A következő elem meghatározásához először kiszámítjuk ${\displaystyle a_{4}-5}$-öt, ami -3. Mivel ez nem pozitív, ${\displaystyle a_{5}=a_{4}+5=7}$.
• ${\displaystyle a_{6}}$ meghatározásához kiszámítjuk ${\displaystyle a_{5}-6}$-ot. Ez 1, ami korábban már szerepelt a sorozatban, ezért ${\displaystyle a_{6}=a_{5}+6=13}$.
• ${\displaystyle a_{7}=20}$; ${\displaystyle a_{7}-8=12}$. Ez pozitív és még nem szerepelt a sorozatban, ezért ez a következő elem: ${\displaystyle a_{8}=12}$.

Szürjektivitás

Neal Sloane(wd) sejtése szerint az ${\displaystyle n\mapsto a_{n}}$ leképezés szürjektív, azaz minden természetes szám eleme a Recamán-sorozatnak. Benjamin Chaffin 2010. március 21-i közlése szerint a sorozat első ${\displaystyle 4,28\times 10^{73}}$ tagja közül a legkisebb hiányzó természetes szám a 852 655.^[1] A leképezés nem injektív: bizonyos elemek többször is előfordulnak. A legelső ismétlődő elem a 42.

Források