Pascal-szimplex

A matematikában a Pascal-szimplex a Pascal-háromszög és a Pascal-gúla multinomiális tételen alapuló általánosítása tetszőleges dimenzióra.

Általános Pascal-m-szimplex

Legyen m (m > 0) egy polinom tagjainak száma, és emeljük n-edik (n ≥ 0) hatványra.

Jelölje ∧ m {\displaystyle \wedge ^{m}} a Pascal-m-szimplexet. Minden Pascal-szimplex egy félig végtelen objektum, ami komponenseinek végtelen sorozatát tartalmazza.

Jelölje ∧ n m {\displaystyle \wedge _{n}^{m}} ennek az n. komponensét. Ez egy véges (m − 1)-szimplex, aminek élhossza n. Ekvivalens jelöléssel △ n m − 1 {\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}} .

Az n. komponens

∧ n m = △ n m − 1 {\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}} az m tagból álló polinom n-edik hatványának együtthatóiból áll:

| x | n = ∑ | k | = n ( n k ) x k ;     x ∈ R m ,   k ∈ N 0 m ,   n ∈ N 0 ,   m ∈ N {\displaystyle |x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N} }

ahol | x | = ∑ i = 1 m x i ,   | k | = ∑ i = 1 m k i ,   x k = ∏ i = 1 m x i k i {\displaystyle \textstyle |x|=\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}} .

Példa: ∧ 4 {\displaystyle \wedge ^{4}}

A Pascal-4-szimplex (A189225 sorozat az OEIS-ben) szelete k4 mentén. Az azonos színű pontok ugyanahhoz az altérhez tartoznak a pirostól (n = 0) a kékig (n = 3).

A Pascal-4-szimplex első négy altere

Speciális Pascal-szimplexek

Pascal-1-szimplex

A Pascal-1-szimplexnek nincsen más ismert neve.

A Pascal-egyenes első négy eleme

n. elem

∧ n 1 = △ n 0 {\displaystyle \wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}} egy pont, ami egy egy tagból álló, n-edik hatványra emelt polinom együtthatóit tartalmazza:

( x 1 ) n = ∑ k 1 = n ( n k 1 ) x 1 k 1 ;     k 1 , n ∈ N 0 {\displaystyle (x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}}
Az △ n 0 {\displaystyle \vartriangle _{n}^{0}} elrendezése
( n n ) {\displaystyle \textstyle {n \choose n}}

ami mindenn-re egyenlő eggyel.

Pascal-2-szimplex

∧ 2 {\displaystyle \wedge ^{2}} ismert, mint: Pascal-háromszög (A007318 sorozat az OEIS-ben).

A Pascal-háromszög első négy komponense

n. komponens

∧ n 2 = △ n 1 {\displaystyle \wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}} egy sor, ami egy két tagból álló polinom n. hatványának binomiális kifejtése:

( x 1 + x 2 ) n = ∑ k 1 + k 2 = n ( n k 1 , k 2 ) x 1 k 1 x 2 k 2 ;     k 1 , k 2 , n ∈ N 0 {\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}}
Az △ n 1 {\displaystyle \vartriangle _{n}^{1}} elrendezése
( n n , 0 ) , ( n n − 1 , 1 ) , ⋯ , ( n 1 , n − 1 ) , ( n 0 , n ) {\displaystyle \textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}}

Pascal-3-szimplex

∧ 3 {\displaystyle \wedge ^{3}} nem más, mint a Pascal-tetraéder (A046816 sorozat az OEIS-ben).

A Pascal-tetraéder első négy komponense

n. komponens

∧ n 3 = △ n 2 {\displaystyle \wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}} háromszög egy 3 tagból álló polinom n-edik hatványának trinomiális együtthatói tartalmazza:

( x 1 + x 2 + x 3 ) n = ∑ k 1 + k 2 + k 3 = n ( n k 1 , k 2 , k 3 ) x 1 k 1 x 2 k 2 x 3 k 3 ;     k 1 , k 2 , k 3 , n ∈ N 0 {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}}
Az △ n 2 {\displaystyle \vartriangle _{n}^{2}} elrendezése
( n n , 0 , 0 ) , ( n n − 1 , 1 , 0 ) , ⋯ ⋯ , ( n 1 , n − 1 , 0 ) , ( n 0 , n , 0 ) ( n n − 1 , 0 , 1 ) , ( n n − 2 , 1 , 1 ) , ⋯ ⋯ , ( n 0 , n − 1 , 1 ) ⋮ ( n 1 , 0 , n − 1 ) , ( n 0 , 1 , n − 1 ) ( n 0 , 0 , n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}}

Tulajdonságok

A komponensek öröklődése

∧ n m = △ n m − 1 {\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}} szám szerint megegyezik △ n m = ∧ n m + 1 {\displaystyle \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}} (m − 1)-lapjával (számuk m + 1):

∧ n m = △ n m − 1 ⊂   △ n m = ∧ n m + 1 {\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}

Ennélfogva ∧ m + 1 {\displaystyle \wedge ^{m+1}} (m + 1)-szer tartalmazza ∧ m {\displaystyle \wedge ^{m}} -t:

∧ m ⊂ ∧ m + 1 {\displaystyle \wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}}

Példa 

        
  
    
      
        
          ∧
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge ^{1}}
  
         
  
    
      
        
          ∧
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge ^{2}}
  
        
  
    
      
        
          ∧
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge ^{3}}
  
         
  
    
      
        
          ∧
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge ^{4}}
  



  
    
      
        
          ∧
          
            0
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge _{0}^{m}}
  
     1          1          1          1


  
    
      
        
          ∧
          
            1
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge _{1}^{m}}
  
     1         1 1        1 1        1 1  1
                              1          1


  
    
      
        
          ∧
          
            2
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge _{2}^{m}}
  
     1        1 2 1      1 2 1      1 2 1  2 2  1
                             2 2        2 2    2
                              1          1


  
    
      
        
          ∧
          
            3
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \wedge _{3}^{m}}
  
     1       1 3 3 1    1 3 3 1    1 3 3 1  3 6 3  3 3  1
                            3 6 3      3 6 3    6 6    3
                             3 3        3 3      3
                              1          1

A fenti mátrix további tagjait az (A191358 sorozat az OEIS-ben) tartalmazza.

Az oldallapok szimmetriája

Az ∧ n m + 1 = △ n m {\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}} Pascal-szimplexet (m + 1)-szer △ n m − 1 = ∧ n m {\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}} határolja:

∧ n m + 1 = △ n m ⊃ △ n m − 1 = ∧ n m {\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}

Innen következik, hogy minden n-re minden i-lap numerikusan egyenlő a Pascal-(m > i)-szimplexek n. komponensével:

∧ n i + 1 = △ n i ⊂ △ n m > i = ∧ n m > i + 1 {\displaystyle \wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}}

Példa

A Pascal-3-szimplex 3. komponensét három egyenlő sor határolja. Mindegyik két 0-lapban végződik (csúcsok): 

2-szimplex   2-szimplexek 1-lapjai         1-lapok 0-lapjai

 1 3 3 1    1 . . .  . . . 1  1 3 3 1    1 . . .   . . . 1
  3 6 3      3 . .    . . 3    . . .
   3 3        3 .      . 3      . .
    1          1        1        .

Tehát minden m-re és n-re:

1 = ∧ n 1 = △ n 0 ⊂ △ n m − 1 = ∧ n m {\displaystyle 1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}

Az együtthatók száma

A Pascal-m-szimplex n. komponense ((m − 1)-szimplex) ennyi multinomiális együtthatót tartalmaz:

( ( n − 1 ) + ( m − 1 ) ( m − 1 ) ) + ( n + ( m − 2 ) ( m − 2 ) ) = ( n + ( m − 1 ) ( m − 1 ) ) , {\displaystyle {(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)},}

azaz vagy az (n − 1). komponens ((m − 1)-szimplex) együtthatóinak darabszámának meg a Pascal-(m − 1)-szimplex n.-edik komponensének ((m − 2)-simplex) együtthatószámának összege, vagy az n. hatvány összes m részes partícióinak száma.

Példa

Az együtthatók száma a Pascal-m-szimplex n. komponensében ((m − 1)-szimplex)
m-simplex n komponens n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
1-szimplex 0-simplex 1 1 1 1 1 1
2-szimplex 1-simplex 1 2 3 4 5 6
3-szimplex 2-simplex 1 3 6 10 15 21
4-szimplex 3-simplex 1 4 10 20 35 56
5-szimplex 4-simplex 1 5 15 35 70 126
6-szimplex 5-simplex 1 6 21 56 126 252

Ez a táblázat éppen a Pascal-háromszöget tartalmazza szimmetrikus Pascal-mátrix formájában.

Szimmetria

A Pascal-m-szimplex n. komponense (m!)-szorosan térszimmetrikus.

Geometria

Ha a k_1 ... k_m tengelyek ortogonálisak az m dimenziós térben, és a komponensek csúcsai ezekre a tengelyekre esnek, akkor a Pascal-m-szimplex csúcsa az origóban van.

Numerikus konstrukció

Egy elég nagy szám hatványa tördelve megadja a Pascal-szimplexet:

| b d p | n = ∑ | k | = n ( n k ) b d p ⋅ k ;     b , d ∈ N ,   n ∈ N 0 ,   k , p ∈ N 0 m ,   p :   p 1 = 0 , p i = ( n + 1 ) i − 2 {\displaystyle \left|b^{dp}\right|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}}

ahol b d p = ( b d p 1 , ⋯ , b d p m ) ∈ N m ,   p ⋅ k = ∑ i = 1 m p i k i ∈ N 0 {\displaystyle \textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}} .

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Pascal's simplex című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.