Nilpotens elem

Az algebrában nilpotens elemnek nevezzük a zéruselemes félcsoportok azon elemeit, amelyeknek létezik olyan hatványa, ami megegyezik a zéruselemmel. Gyűrűk esetében a gyűrű valamely elemét akkor mondjuk nilpotens elemnek, ha az adott elem nilpotens elem a gyűrű multiplikatív félcsoportjában.

Definíció

Legyen ${\displaystyle (A;\cdot )}$ tetszőleges zéruselemes félcsoport. Azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle a\in A}$ elem az A félcsoport nilpotens eleme, ha valamely ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ esetén ${\displaystyle a^{n}=0}$, ahol ${\displaystyle 0}$ a félcsoport zéruseleme.

Legyen ${\displaystyle (R;+,\cdot )}$ tetszőleges gyűrű. Akkor mondjuk az ${\displaystyle a\in R}$ elem az R gyűrű nilpotens eleme, ha az ${\displaystyle a}$ elem nilpotens elem a gyűrű ${\displaystyle (R;\cdot )}$ multiplikatív félcsoportjában.

Tulajdonságok

• A zéruselem mindig nilpotens elem.
• Ha valamely ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ esetén ${\displaystyle a^{n}=0}$, akkor minden ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$-re ${\displaystyle a^{n+m}=0}$ is teljesül.
• A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei zérusosztók.
• Kommutatív gyűrűben a nilpotens elemek ideált alkotnak. (Ha a gyűrű nem kommutatív, akkor nem biztos, pl. a 2×2-es valós mátrixok gyűrűjében sem teljesül.)

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)