Newton–Cotes-formula

A numerikus analízisben a Newton–Cotes-kvadratúraformulák (amiket Newton–Cotes-szabályoknak is neveznek) olyan képletek csoportja, amelyek numerikus integrálásra (más néven kvadratúrákra) szolgálnak, amik alapjául az integrálni kívánt intervallumot n+1 egyenlő távolságra (lépésközre) osztunk fel. Ezeket a módszereket Isaac Newtonról és Roger Cotesról nevezték el.

A Newton–Cotes-kvadratúraformulák nagyon hatékonyak, ha meghatározottak a függvényértékek az adott ekvidisztáns (egymástól egyenlő távolságra lévő) pontokban. Ha lehetséges más pontokban is meghatározni a függvény értékét, akkor vannak hatékonyabb, célszerűbb módszerek is az integrál kiszámítására, pl.: Gauss-kvadratúra és a Clenshaw–Curtis-kvadratúra.

Leírás

Feltesszük, hogy az f függvény értékeit ismerjük az egymástól egyenlő távolságra lévő (ekvidisztáns) xi pontokban, ahol i = 0, …, n. A Newton–Cotes-kvadratúraformuláknak két típusát különböztetjük meg: a "nyitott" típus csak a belső alappontokkal ( x1, x2,…,xn-1 ) számol, míg a "zárt" típus az intervallum kezdő- és végpontját is beleveszi (tehát az alappontok: x0, x1, x2,…, xn-1, xn ). Az n-ed fokú Newton–Cotes-formula általános alakja:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}

ahol xi = h i + x0, h (más néven lépésköz) egyenlő (xn − x0)/n-nel. wi a súlyokat jelöli.

Ahogy az alábbiakban látható, a súlyozást a Lagrange-alappolinomokból kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a súlyok csak az xi -től függnek, és nem az adott f függvény értékétől. Legyen L(x) a Lagrange interpolációs polinom megadott alappontjai (x0, f(x0) ), …, (xn, f(xn) ), akkor

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b L ( x ) d x = ∫ a b ∑ i = 0 n f ( x i ) l i ( x ) d x = ∑ i = 0 n f ( x i ) ∫ a b l i ( x ) d x ⏟ w i . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}

A nyitott n-ed fokú Newton–Cotes-formula:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n − 1 w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})}

A súlyokat hasonlóan kereshetjük meg, mint a zárt képletnél.

Instabilitás magas alappontszám esetén

A Newton–Cotes-kvadratúraformulákat minden n alappontra el lehet készíteni. Igaz ugyan, hogy a Newton-Cotes szabály alkalmazása magas alappontszám esetén néha a Runge-jelenséget vonhatja maga után, ahol a hibatag exponenciálisan növekszik. Más módszerek, mint a Gauss-kvadratúra és a Clenshaw–Curtis-kvadratúra ahol nem egyenlő a lépésköz (és a pontok az intervallum végpontjaiban torlódnak), sokkal stabilabbak, pontosabbak és elfogadottabbak, mint a Newton–Cotes-módszer. Ha ezeket a módszereket nem tudjuk használni, mert a függvényértékek csak ekvidisztáns (egyenlő lépésközű) pontokban ismertek, akkor a Runge-jelenséget az alábbiakban ismertetett összetett formulával lehet elkerülni.

Zárt Newton–Cotes-formulák

Ez a táblázat néhány zárt Newton–Cotes-formulát tartalmaz. Az f i {\displaystyle f_{i}} az f ( x i ) {\displaystyle f(x_{i})} . jelölést rövidíti.

Zárt Newton–Cotes-formulák
Fok/alappontok száma Elnevezés Képlet Hibatag
1 Trapézszabály h 2 ( f 0 + f 1 ) {\displaystyle {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})} − h 3 12 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}
2 Simpson-szabály h 3 ( f 0 + 4 f 1 + f 2 ) {\displaystyle {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})} − h 5 90 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}
3 Simpson 3/8 szabály 3 h 8 ( f 0 + 3 f 1 + 3 f 2 + f 3 ) {\displaystyle {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})} − 3 h 5 80 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {3h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}
4 Boole-szabály, vagy
Bode-szabály (sic)		 2 h 45 ( 7 f 0 + 32 f 1 + 12 f 2 + 32 f 3 + 7 f 4 ) {\displaystyle {\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})} − 8 h 7 945 f ( 6 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}

Boole szabályát egy régebbi sajtóhiba miatt tévesen nevezik Bode szabályának, ami Abramowitz és Stegun egy korai kézikönyvében volt található.[1].

A lépésköz exponenciális növelése a hibatagban, a közelítés hibáját csökkenti. Az f függvény deriváltja a hibatagban megmutatja, hogy melyik polinomot lehet pontosan integrálni (ahol a hibatag egyenlő nullával). Minden második lépésnél a hibatag pontossága kettővel nő. A hibatag (ξ) a és b közé esik.


Nyitott Newton–Cotes-formulák

Az alábbi táblázat felsorol néhány nyitott Newton-Cotes kvadratúra formulát.

Nyitott Newton–Cotes-formulák
Fok/alappontok száma Elnevezés Képlet Hibatag
0 Téglalapszabály 2 h f 1 {\displaystyle 2hf_{1}\,} h 3 24 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}
1 3 h 2 ( f 1 + f 2 ) {\displaystyle {\frac {3h}{2}}(f_{1}+f_{2})} h 3 4 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )}
2 4 h 3 ( 2 f 1 − f 2 + 2 f 3 ) {\displaystyle {\frac {4h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})} 28 h 5 90 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {28h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )}
3 5 h 24 ( 11 f 1 + f 2 + f 3 + 11 f 4 ) {\displaystyle {\frac {5h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})} 95 h 5 144 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {95h^{5}}{144}}f^{(4)}(\xi )}

Összetett szabályok

Ahhoz, hogy a Newton–Cotes-szabály pontos értéket adjon, a h lépésköznek kicsinek kell lennie, ami azt jelenti, hogy az integrációs intervallumnak [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} is kicsinek kell lennie, ami az esetek nagy részében nem fordul elő. Éppen ezért, a numerikus integrálást az adott [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} intervallumon felosztják kisebb részintervallumokra, majd ezeken alkalmazzák a Newton–Cotes-szabályt, végül ezeken a részintervallumokon kapott eredményeket összegzik és kapják a végső eredményt. Ezt nevezzük összetett szabálynak, lásd Numerikus integrálás.

Hivatkozások

  • M. Abramowitz és I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (lásd 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1977. (lásd 5.1.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (lásd 4.1.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (lásd 3.1.)

Külső hivatkozások

  • Newton-Cotes formulas a www.math-linux.com-on
  • Newton-Cotes Formulas[halott link]
  • Weisstein, Eric W.: Newton-Cotes Formulas (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Module for Newton-Cotes Integration