Majoráns kritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sorok konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is. Ilyen a majoráns kritérium is.

Majoráns kritérium: Tegyük fel, hogy a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ és ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ végtelen sorok tagjaira minden elég nagy n esetén fennáll ${\displaystyle |a_{n}|\leq b_{n}}$. Ha a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ sor konvergens, akkor ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ abszolút konvergens.

Bizonyítás: Véges sok tag megváltoztatása nem befolyásolja a sorok konvergenciáját, ezért feltehetjük, hogy ${\displaystyle |a_{n}|\leq b_{n}}$ minden n-re teljesül. Ebből következik, hogy a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ sor részletösszegei nem nagyobbak ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ megfelelő részletösszegeinél. Az utóbbiak sorozata felülről korlátos, hiszen ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ konvergens. Így a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ sor részletösszegeinek sorozata is felülről korlátos, tehát a monoton konvergencia tétel szerint a sor részösszegeinek sorozata konvergens, vagyis a sor definíció szerint konvergens.

Források

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978-963-19-6084-6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9

Kapcsolódó szócikkek

• Hányadoskritérium
• Gyökkritérium