Láncszabály

 Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont!
Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A láncszabály egy eljárás összetett függvények deriválására a matematikában.

Ha például f és g is egy-egy függvény, akkor a láncszabály szerint az f ∘ g {\displaystyle f\circ g} összetett függvény deriváltja kifejezhető f és g deriváltjaival.

Integráláskor a láncszabály megfelelője a helyettesítéses integrálás.

Történet

Írásos jegyzetek alapján úgy tűnik, hogy Gottfried Wilhelm Leibniz használta először a láncszabályt.

A a + b z + c z 2 {\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}} deriváltját számolta ki, mint a gyökvonás, és a a + b z + c z 2 {\displaystyle a+bz+cz^{2}} kifejezés deriváltjait. Azonban nem emelte ki, hogy ez egy külön megnevezhető szabály lenne, és ez így is maradt sokáig.

Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, francia matematikus, szintén alkalmazta ezt a szabályt, megemlíti ‘Analyse des infiniment petits’ című publikációjában.

A láncszabályt nem említi Leonhard Euler sem az analíziskönyvében, pedig az már 100 évvel Leibniz felfedezése után készült.

Először Joseph Louis Lagrange említi nevén a láncszabályt, 1797-ben íródott művében, a Théorie des fonctions analytiques-ban.[1]

Példa

Tegyük fel, hogy egy ejtőernyős kiugrik egy repülőből. Tételezzük fel, hogy az ugrás után t idővel a tengerszint feletti magassága méterben: g ( t ) = 4000 − 4 , 9 t 2 {\displaystyle g(t)=4000-4,9t^{2}} . A légnyomás h magasságban: f ( h ) = 10 , 1325 e − 0 , 0001 h {\displaystyle f(h)=10,1325e^{-0,0001h}} . A két fenti egyenletet különböző módon lehet differenciálni:

  • t időben az ugró sebessége: g ′ ( t ) = − 9 , 8 t {\displaystyle g'(t)=-9,8t}
  • h magasságban a nyomás változása: f ′ ( h ) = − 10 , 1325 e − 0 , 0001 h {\displaystyle f'(h)=-10,1325e^{-0,0001h}} , és ez arányos a felhajtóerővel h magasságban (a valódi felhajtóerő függ az ugró térfogatától).
  • Az ugrás után t időben az atmoszferikus nyomás ( f ∘ g ) ( t ) {\displaystyle (f\circ g)(t)}
  • t idő után, az atmoszferikus nyomás változása: ( f ∘ g ) ′ ( t ) {\displaystyle (f\circ g)'(t)} és ez arányos a t idő utáni felhajtóerővel.

A láncszabály lehetőséget ad kiszámolni ( f ∘ g ) ′ ( t ) {\displaystyle (f\circ g)'(t)} -t, f és g kifejezésekkel. Bár mindig van lehetőség az összetett függvény deriváltjának a kiszámítására, azonban ez általában nehéz feladat. A láncszabály lehetővé teszi, hogy a bonyolult deriváltat egyszerű módon is megkaphassuk. A láncszabály szerint:

( f ∘ g ) ′ ( t ) = f ′ ( g ( t ) ) g ′ ( t ) . {\displaystyle (f\circ g)'(t)=f'(g(t))g'(t).}

Ebben a példában, ez egyenlő:

( f ∘ g ) ′ ( t ) = ( − 10 , 1325 e − 0 , 0001 ( 4000 − 4.9 t 2 ) ) ⋅ ( − 9 , 8 t ) . {\displaystyle (f\circ g)'(t)={\big (}{\mathord {-}}10,1325e^{-0,0001(4000-4.9t^{2})}{\big )}\cdot {\big (}{\mathord {-}}9,8t{\big )}.}

A láncszabály szerint az f és g kissé különböző szerepet játszik, mert f′-t g(t)-nél számoljuk, míg g′-t a t-nél. Ez szükséges, hogy korrekt eredmény jöjjön ki. Például, tegyük fel, hogy az ugrás után 10 másodperccel szeretnénk kiszámolni az atmoszferikus nyomás változási sebességét. Ez (f ∘ g)′(10), Pascal/sec-ban. A láncszabályban g′(10) tényező, az ejtőernyős sebessége 10 másodperccel az ugrás után, méter/sec-ben kifejezve. A nyomás változása f′(g(10)) , a g(10) magasságban, Pascal/m-ben. f′(g(10)) és g′(10) szorzata Pascal/sec-ben a helyes érték. f nem számítható ki másképpen. Például azért, mert a 10, tíz másodpercet jelent, az f′(10) pedig a nyomás változását 10 másodperc magasságban, ami nonszensz. Hasonlóan, mivel g′(10) = –98 méter/sec, az f′(g′(10)) mutatja a nyomás változást -98 m/sec magasságban, ami szintén nonszensz. Azonban g(10)= 3020 méter a tengerszint felett, ami az ugró magassága az ugrás után 10 másodperccel. Ez a korrekt egység az f-részére.

A láncszabály állítása

A láncszabály legegyszerűbb formája egy valós változót tartalmazó valós függvény esete. Ekkor, ha g egy függvény, mely differenciálható c pontnál (vagyis a g′(c) létezik), és f egy függvény, mely differenciálható g′(c)-nél, akkor az f ∘ g összetett függvény differenciálható c-nél, és a deriváltja:[2]

( f ∘ g ) ′ ( c ) = f ′ ( g ( c ) ) ⋅ g ′ ( c ) . {\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).}

a szabályt sokszor így rövidítik:

( f ∘ g ) ′ = ( f ′ ∘ g ) ⋅ g ′ . {\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.\,}

Ha y = f(u),és u = g(x), akkor ez a szabály rövidített formája Leibniz-féle jelöléssel:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}

Azok a pontok, ahol a derivált képződik, explicit módon:

d y d x | x = c = d y d u | u = g ( c ) ⋅ d u d x | x = c . {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}.\,}

Több mint két függvény esete

A láncszabály alkalmazható kettőnél több függvény esetében is. Több függvény deriválása esetén, az f, g, és h összetett függvények esetén, ez megfelel a f g ∘ h-vel. A láncszabály azt mondja, hogy a f ∘ g ∘ h deriváltjának kiszámításához elegendő az f, és a g ∘ h deriváltjainak kiszámítása. Az f deriválása közvetlenül történhet, és a g ∘ h deriválása a láncszabály szerint végezhető el. Egy gyakorlati esetben:

y = e sin ⁡ x 2 . {\displaystyle y=e^{\sin {x^{2}}}.}

Ez lebontható három részre:

y = f ( u ) = e u , u = g ( v ) = sin ⁡ v , v = h ( x ) = x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}

Ezek deriváltjai:

d y d u = f ′ ( u ) = e u , d u d v = g ′ ( v ) = cos ⁡ v , d v d x = h ′ ( x ) = 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}

A láncszabály azt mondja, hogy x = a ponton az összetett függvény deriváltja:

( f ∘ g ∘ h ) ′ ( a ) = f ′ ( ( g ∘ h ) ( a ) ) ( g ∘ h ) ′ ( a ) = f ′ ( ( g ∘ h ) ( a ) ) g ′ ( h ( a ) ) h ′ ( a ) . {\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))(g\circ h)'(a)=f'((g\circ h)(a))g'(h(a))h'(a).}

Leibniz-féle jelöléssel:

d y d x = d y d u | u = g ( h ( a ) ) ⋅ d u d v | v = h ( a ) ⋅ d v d x | x = a , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a},}

vagy m röviden:

d y d x = d y d u ⋅ d u d v ⋅ d v d x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.}

A derivált függvény ezért:

d y d x = e sin ⁡ x 2 ⋅ cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin {x^{2}}}\cdot \cos {x^{2}}\cdot 2x.}

Egy másik útja a számításnak, tekintsük a f ∘ g ∘ h összetett függvényt, mint a f ∘ g és h összetevőit. Most alkalmazva a láncszabályt:

( f ∘ g ∘ h ) ′ ( a ) = ( f ∘ g ) ′ ( h ( a ) ) h ′ ( a ) = f ′ ( g ( h ( a ) ) g ′ ( h ( a ) ) h ′ ( a ) . {\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))h'(a)=f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).}

Ez ugyanaz, mint amit fentebb kaptunk. Ez azért van így, mert (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Irodalom

  • Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez: A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule. (hely nélkül): The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3. 2007. 321–332. o.  

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez, A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule, The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3, pp.321–332.
  2. ↑ Apostol, Tom. Mathematical analysis, 2nd ed., Addison Wesley, Theorem 5.5. o. (1974)