Kanonikus kvantálás

A kvantummechanikában a kanonikus kvantálás egy matematikai módszer, amely a klasszikus dinamikai rendszerek Hamilton-formalizmusáról a kvantumelméletben alkalmazott operátor-formalizmusra való áttérést valósítja meg, így a fizikai mennyiségeket operátorokkal helyettesítjük.

Szemléltetése egy példával

A kvantumelmélet egy nevezetes axiómája – a korrespondenciaelv – szerint a klasszikus mechanika és a kvantummechanika alapelvei egymással bizonyos mértékig korrelálnak. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a jelenségek azon körére, melyeket a klasszikus fizika kellő pontossággal tárgyalni képes, a kvantummechanikán belül is tárgyalható, bár esetleg más formalizmussal.

Példaképpen tekintsük egy atomi spektrumot, melynek vonalait, megoldásait keressük. A kvantummechanikai tárgyalásmód alapján egy n és m kvantumszámmal meghatározott atomi elektronállapotok közti átmenetkor létrejövő sugárzás frekvenciáját az ω m n = 1 ℏ ( E m − E n ) {\textstyle \omega _{mn}={\frac {1}{\hbar }}(E_{m}-E_{n})} határozza meg. A Bohr-modellben az elektron L impulzusmomentuma állandó, ennek nagyságát az L = n ℏ {\textstyle L=n\hbar } összefüggés határozza meg. Ezt kvantálási módszert Arnold Sommerfeld és William Wilson egymástól függetlenül általánosította periódikus mozgásokra, amelyből következik a ϕ = ∮ p d x = 2 π h ( n + α ) {\displaystyle \phi =\oint pdx=2\pi h(n+\alpha )} összefüggés.

A korrespondenciaelv alapján az mondható, hogy a fentebb definiált frekvenciák adott feltételek mellett közelítőleg egybeesnek a klasszikus frekvenciákkal. Nézzünk egy klasszikus kanonikus fizikai mennyiségpárt, erre érvényes, hogy  { q , p } P B = 1 {\displaystyle \{q,p\}_{PB}=1} . Rendeljünk ehhez egy olyan q ^ , p ^ {\displaystyle {\hat {q}},{\hat {p}}} operátorpárt, amely a Hilbert-térben megfelel a felcserélési relációnak. Mivel a Hilbert-tér operátorai egymással rendszerint nem felcserélhetők, a kommutátoruk nem lesz nulla. Ekkor a következő írható fel:

[ q ^ , p ^ ] = i ℏ [ q ^ , q ^ ] = [ p ^ , p ^ ] = 0 {\displaystyle [{\widehat {q}},{\widehat {p}}]=i\hbar \qquad [{\widehat {q}},{\widehat {q}}]=[{\widehat {p}},{\widehat {p}}]=0} .

Azon fizikai mennyiségek, melyek operátorai nem kommutálnak, nem mérhetők tetszőleges pontossággal. Ezt mondja ki Heisenberg határozatlansági elve is. Követve ezt a gondolatmenetet, tekintsük a H ^ ( q ^ , p ^ ) {\displaystyle {\hat {H}}({\hat {q}},{\hat {p}})} operátorpárt, amelyet hozzárendelünk a Hamilton-függvényhez. Ezt gyakorlatilag minden dinamikai mennyiséggel megtehetünk (hermitikus operátorok). Ha A {\displaystyle A} operátora A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} és ennek adjungáltja A ^ † {\displaystyle {\hat {A}}^{\dagger }} , akkor azt írhatjuk, hogy: ⟨ ψ | A † ^ | ϕ ⟩ ≡ ⟨ ϕ | A ^ ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {A^{\dagger }}}|\phi \rangle \equiv \langle \phi |{\hat {A}}\psi \rangle } .

A rendszer | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\Psi (t)\rangle } kvantumállapotát t időpontban a Schrödinger-egyenlet írja le, azaz

i ℏ ∂ ∂ t | Φ ( t ) ⟩ = H ^ ( q ^ , p ^ ) | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle ={\hat {H}}({\hat {q}},{\hat {p}})|\Psi (t)\rangle } .

A | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\Psi (t)\rangle } értékét kezdeti feltételek határozzák meg. A fentiek értelmében a kvantumelméletben – éppúgy, mint a klasszikus értelmezésben – a rendszer fizikai állapotának időfejlődését a Hamilton-függvény határozza meg.

Kanonikus kvantálás a térelméletben

A kanonikus kvantálás a térelméletben a kvantummechanikai axiómák klasszikus térelméletben való alkalmazásával adható meg. Egy ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} skalártérre, ha a Lagrange-sűrűség L ( ϕ , ∂ μ ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )} , akkor a kanonikus impulzus: Π ( x ) = ∂ L δ ∂ 0 ϕ ( x ) {\displaystyle \Pi (x)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\delta \partial _{0}\phi (x)}}} .

Nemrelativisztikus terek esetén – követve a kvantálási szabályokat – végső soron egy sokrészecskés Hilbert-tér jön létre. Ennek okán a téroperátor kiterjeszthető egy normált síkhullám megoldáshalmazára. Ekkor felírható, hogy ϕ ( x ) = ∑ P [ f p ( x ) a p + f p ∗ ( x ) a p † ] {\textstyle \phi (x)=\sum _{P}[f_{p}(x)a_{p}+f_{p}^{*}(x)a_{p}^{\dagger }]} . Megfigyelhető, hogy az egyenlet jobb oldala részecskekeltő és eltüntető operátorokat is magában foglal. Ez annak tudható be, hogy a tér- és impulzus operátor kvantálása hermitikus operátorokat képez (ez azt jelenti, hogy ( H ^ Ψ 1 , Ψ 2 ) = ( Ψ 1 , H ^ Ψ 2 ) {\textstyle ({\hat {H}}\Psi _{1},\Psi _{2})=(\Psi _{1},{\hat {H}}\Psi _{2})} ). Behelyettesítve f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)} és f p ∗ ( x ) {\displaystyle f_{p}^{*}(x)} helyére az explicit hullámfüggvényeket a következő kifejezést kapjuk:

ϕ ( x ) = ∑ P 1 ( 2 p 0 V ) 1 2 ( e − i p x a p + e i p x a p † ] ) {\displaystyle \phi (x)=\sum _{P}{\frac {1}{(2p^{0}V)^{\frac {1}{2}}}}(e^{-ipx}a_{p}+e^{ipx}a_{p}^{\dagger }])}

A fenti kifejezések a Hilbert-tér szabad részecskéire teljes kifejezés.

Források

  • Kleinert, Hagen. Particles and quantum fields. Singapore Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd (2016). ISBN 978-981-4740-89-0 
  • W. Greiner and J. Reinhardt: Quantum Electrodynamics, Springer, Berlin, 2008.
  • Nagy, Károly. Kvantummechanika : egyetemi tankönyv (magyar nyelven). Budapest: Nemzeti Tankönyvkiado (2000). ISBN 963-19-1127-6 
  • Sailer Kornél: Bevezetés a kvantummechanikába Debreceni Egyetem, Elméleti Fizikai Tanszék (2008)

Kapcsolódó szócikkek