Henger

Egyenes köralapú henger
Elliptikus henger

A henger (idegen szóval cilinder) térbeli test. A henger alapját egy görbe, a vezérgörbe adja. Többnyire olyan hengerről van szó, aminek alapját ellipszis, speciális esetben kör alkotja. Legtöbbször ezt nevezik hengernek.

A keskenyebb, vagyis az alapot képező kör átmérőjénél lényegesen kisebb magasságú vagy szélességű hengert korongnak nevezik.

A(z elliptikus) henger leírható például az alábbi egyenlőtlenség-rendszerrel:

( x r 1 ) 2 + ( y r 2 ) 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ h {\displaystyle \left({\frac {x}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{r_{2}}}\right)^{2}\leq 1,\quad 0\leq z\leq h}

ahol r 1 {\displaystyle r_{1}} és r 2 {\displaystyle r_{2}} az alapot képző ellipszis sugarai, h {\displaystyle h} pedig a henger magassága.

A henger elfajult másodrendű felület, mert egyenletében nem szerepel a harmadik koordináta.

Képletek

Térfogat

A henger térfogata az alap területének és a henger magasságának a szorzata. Ellipszis alapú hengerek térfogata, a fenti jelöléseket használva, az alábbi formula szerint számítható:

V = π r 1 r 2 h {\displaystyle V=\pi r_{1}r_{2}h\,}

amely köralapú hengernél így egyszerűsödik le:

V = π r 2 h {\displaystyle V=\pi r^{2}h}

Felszín

A kör alapú henger felszíne kiszámítható a palást felületét és az alap felületének kétszeresét összegezve:

A = 2 π r h + 2 π r 2 = 2 π r ( r + h ) . {\displaystyle A=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(r+h).\,}

Adott térfogat mellett a henger felszíne a h = 2 r {\displaystyle h=2r} esetben minimális. Adott felszín mellett a térfogat h = 2 r {\displaystyle h=2r} esetben maximális.

Hengerszeletek

Körhenger és sík metszete ellipszis, elfajult esetben két párhuzamos egyenes, vagy üres halmaz.[1]

Másfajta hengerek

  • Más vezérgörbéjű felületeket is hengernek nevezhetnek. Így például beszélnek
    • hiperbolikus hengerről:
( x a ) 2 − ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
    • parabolikus hengerről:
x 2 + 2 a y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

A valós elliptikus hengereken kívül találkozhatunk képzetes elliptikus hengerekkel is, amiknek nincs valós pontjuk:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = − 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

Tankprobléma

Egy fekvő, nem teli hengerben levő folyadék térfogatát is kiszámíthatjuk a térfogat = alapszor magasság képlettel. A körszelet területképletével

V = r 2 L ( arccos ⁡ ( r − h r ) − ( r − h ) 2 r h − h 2 r 2 ) , {\displaystyle V=r^{2}L\left(\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\frac {\sqrt {2rh-h^{2}}}{r^{2}}}\right),}

ahol L a henger hossza, r az alapkör sugara, h a hengerben levő folyadék magassága.

Hengerfelület a topológiában

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk egymással két szemben fekvő oldalát. Pontosabban, az ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle ([0,1]\times [0,1])} egységnégyzet két oldalát a következő reláció szerint azonosítjuk:

(x,0)~(x,1) minden 0 ≤ x ≤ 1-re.

Hasonlóan áll elő a Möbius-szalag, de ahhoz el kell fordítani az egyik oldalt a teljesszög felével.

Galéria

  • A henger magassága h-val, az alapkör sugara r-rel jelölve az angol height és a latin radius szavak rövidítéseként.
    A henger magassága h-val, az alapkör sugara r-rel jelölve az angol height és a latin radius szavak rövidítéseként.
  • A kör átmérőjét itt d (diameter) jelöli.
    A kör átmérőjét itt d (diameter) jelöli.
  • Piros, sugárkövetéssel renderelt henger.
    Piros, sugárkövetéssel renderelt henger.
  • Rácsmodellel szemléltetett henger.
    Rácsmodellel szemléltetett henger.

Források

  1. ↑ MathWorld: Cylindric section
  • A henger felszíne a MATHguide-nál
  • A henger térfogata a MATHguide-nál
  • Spinning Cylinder at Math Is Funnál
  • A henger térfogata interaktív animáció a Math Open Reference-nél
  • Szűcs András: Topológia
Commons:Category:Cylinders
A Wikimédia Commons tartalmaz Henger témájú médiaállományokat.