Helyettesítéses integrálás

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon.

A helyettesítéses integrálás egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására vagy primitív függvényének meghatározására.

Ez az ellenpárja a differenciálás láncszabályának.

Legyen   ${\displaystyle I\subseteq {\mathbb {R} }}$   egy intervallum, és   ${\displaystyle g:[a,b]\to I}$   egy folytonos, legalább egyszer differenciálható függvény.

Tegyük fel, hogy ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ egy folytonos függvény, akkor:

${\displaystyle \int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.}$

A Leibniz-féle jelölést használva, az ${\displaystyle x=g(t)}$ behelyettesítés adja: ${\displaystyle dx/dt=g'(t)}$ és így formálisan ${\displaystyle dx=g'(t)\,dt}$, mely a kívánt behelyettesítés ${\displaystyle dx}$-re.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.

Kapcsolat a számítás alapvető elméletével

Az integrálás behelyettesítéssel módszer, mely a 'számítás alapvető elméletéből' vezethető le.

Legyen ƒ és g két függvény, melyek eleget tesznek a fenti hipotézisnek, hogy ƒ folytonos egy I tartományban, és ${\displaystyle g'\,}$ is folytonos a [a,b] zárt intervallumban. Ekkor ${\displaystyle f(g(t))g'(t)}$ függvény is folytonos [a,b]-ben. Ezért az integrál:

${\displaystyle \int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx}$

és

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt}$

létezik, és majd, hogy azonosak. Mivel ƒ folytonos, rendelkezik egy F antideriválttal. A ${\displaystyle F\circ g}$ összetett függvény definiálható. Mivel F és g differenciálhatók, a láncszabály értelmében:

${\displaystyle (F\circ g)'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t).}$

A számítás alapvető elméletét kétszer alkalmazva:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)=F(g(b))-F(g(a))=\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,}$

mely éppen a behelyettesítési szabály.

Példák

Tekintsük a következő integrált:

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}$

Ha elvégezzük a u = x² + 1 behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: du = 2x dx és

${\displaystyle \int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).}$

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó limit x = 0-t, u = 0² + 1 = 1-val helyettesítettük, valamint a felső limit x = 2 –t, u = 2² + 1 = 5 kifejezéssel, az x visszahelyettesítése szükségtelen. A  :${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx}$ integrál képletet jobbról balra szükséges alkalmazni: A x = sin(u), dx = cos(u) du helyettesítés hasznos, mert ${\displaystyle {\sqrt {(1-\sin ^{2}(u))}}=\cos(u)}$:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du={\frac {\pi }{4}}}$

Az integrál számítható a részenkénti integrálás szabályai szerint, néhány behelyettesítés után.

Antideriváltak

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:

${\displaystyle \quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C}$

ahol C tetszőleges integrálási konstans.

Megjegyezzük: nem volt integrálási határ, de az utolsó lépésben megfordítottuk az eredeti helyettesítést: u = x² + 1.

Alkalmazás a valószínűségszámításban

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban:

Legyen adott egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó, ${\displaystyle p_{x}}$ valószínűségi sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó, ${\displaystyle Y}$ , mely kapcsolódik ${\displaystyle X}$-hez a következő egyenlettel: ${\displaystyle y=\Phi (x)}$, a kérdés: mi az ${\displaystyle Y}$ valószínűségi sűrűsége? A kérdést könnyű megválaszolni, ha előtte válaszolunk egy kissé különböző kérdésre:

Mi annak a valószínűsége, hogy ${\displaystyle Y}$ egy bizonyos ${\displaystyle S}$ alhalmaz része?

Jelöljük ezt a valószínűséget ${\displaystyle P(Y\in S)}$.

Ha ${\displaystyle Y}$ valószínűségi sűrűsége ${\displaystyle p_{y}}$, akkor a válasz:

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{y}(y)\,dy,}$

de ez nem túl használható, mert nem ismerjük p_y-t; ezt kell először kitalálni.

Előre haladhatunk, ha tekintjük ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle Y}$ felvesz egy értéket S-ben, ha X felvesz értéket ${\displaystyle \Phi ^{-1}(S)}$-ben, így

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)\,dx.}$

Az x -et y –ra változtatva

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\Phi ^{-1}(S)}p_{x}(x)~dx=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.}$

ezt kombinálva az első egyenletünkkel, kapjuk:

${\displaystyle \int _{S}p_{y}(y)~dy=\int _{S}p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy}$

így:

${\displaystyle p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$

Abban az esetben, ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ több korrelálatlan változótól függ, azaz ${\displaystyle p_{x}=p_{x}(x_{1}\ldots x_{n})}$, és ${\displaystyle y=\Phi (x)}$, ${\displaystyle p_{y}}$-t kapjuk több behelyettesítés után, akkor az eredmény:

${\displaystyle p_{y}(y)=p_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|\det \left[D\Phi ^{-1}(y)\right]\right|.}$

Irodalom

• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl: Real and abstract analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1965. ISBN 978-0387045597  
• Katz, V: Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan. (hely nélkül): Mathematics Magazine 55. 1982. ISBN 978-0387045597  
• Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűségszámítás
• Sűrűségfüggvény
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Karakterisztikus függvény
• Lapultság
• Láncszabály