Hatványsor

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.}$

alakú végtelen összeg, ahol ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az ${\displaystyle x_{0}}$ szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

• egyedül a középpont
• valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
• az egész ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vagy ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Konvergenciasugár

Az ${\displaystyle x_{0}}$ körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit ${\displaystyle r}$-rel jelölve a hatványsor minden ${\displaystyle x}$-re konvergens, amire ${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.}$

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

${\displaystyle r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,}$

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

• ${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$ esetén a hatványsor abszolút konvergens
• ha ${\displaystyle |x-x_{0}|>r}$, akkor divergens
• hogyha ${\displaystyle |x-x_{0}|=r}$, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
• ha pedig ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq r^{\prime }<r}$, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden ${\displaystyle x}$-re, amire ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq r^{\prime }}$.

Műveletek

Összeadás és skalárral szorzás

Ha ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ hatványsorok,

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}$

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a ${\displaystyle f+g}$ és ${\displaystyle cf}$ hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

${\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}$

${\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.}$

Szorzás

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ az ${\displaystyle (a_{n})}$ és a ${\displaystyle (b_{n})}$ sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálás

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}$

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával

${\displaystyle f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}}$

Hasonlóan számítható a primitív függvény:

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C}$

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

Példák

• A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
• Exponenciális függvény: ${\displaystyle e^{x}=\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \ x\in \mathbb {R} }$,

a konvergenciasugár végtelen

• Logaritmus, ${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1<x\leq 1}$.

A konvergenciasugár 1; ${\displaystyle x=1}$-ben konvergens, ${\displaystyle x=-1}$-re divergens

• Négyzetgyök, ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1\leq x\leq 1}$,

a konvergenciasugár 1, és a sor ${\displaystyle x=1}$-ben és ${\displaystyle x=-1}$-ben is konvergál

• Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Lásd még

• Laurent-sor

Források

• Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]
• Halász Gábor: Komplex függvénytan
• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
• E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics