Divergens sorozat

Egy sorozat divergens, ha nem határozható meg egy konkrét érték, mely felé a sorozat tagjai tartanak. Más megfogalmazásban, egy sorozat divergens, ha nem konvergens. Ekkor ha a sorozat bármely tagja körül meghatározunk egy körzetet (egy tetszőleges számot - küszöbindexet -, amivel legfeljebb el lehet térni tőle), akkor azt vehetjük észre, hogy a sorozat tagjai elvándorolnak ettől, esetleg bolyonganak (oszcillálnak) benne.

Matematikai definíciója

Metrikus terekben

( K , d ) {\displaystyle (K,d)} metrikus tér

a n K , n N {\displaystyle a_{n}\in K,n\in \mathbb {N} } mely szerint a   {\displaystyle a\ } tehát K   {\displaystyle K\ } elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

α K   ϵ > 0   n 0 N   n N : ( n > n 0   d ( a n , α ) > ϵ ) {\displaystyle \forall {\alpha \in K}\ \exists {\epsilon >0}\ \forall n_{0}\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\ \land d\left(a_{n},\alpha \right)>\epsilon )}

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Számtestekben

K {\displaystyle K} számtest

a n K , n N {\displaystyle a_{n}\in K,n\in \mathbb {N} } mely szerint a   {\displaystyle a\ } tehát K   {\displaystyle K\ } elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

α K   ϵ > 0   n 0 N   n N : ( n > n 0   a n α ∣> ϵ ) {\displaystyle \forall {\alpha \in K}\ \exists {\epsilon >0}\ \forall n_{0}\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\ \land \mid a_{n}-\alpha \mid >\epsilon )}

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a d ( a , b )   :=   a b {\displaystyle d(a,b)\ :=\ \mid a-b\mid } metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

Példák

n N , a n R {\displaystyle {n\in \mathbb {N} },{a_{n}\in \mathbb {R} }}

a n = ( 1 ) n   {\displaystyle a_{n}={(-1)^{n}\ }}

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1, minden páratlan eleme -1

a n = n   {\displaystyle a_{n}=n\ }

ennek a sorozatnak nincs határértéke R   {\displaystyle \mathbb {R} \ } -ben.

Megjegyzések, tételek

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az a n = ( 1 ) n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}} sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy an sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n0 küszöbszám, hogyha n > n0 akkor an > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például

lim n n 2 = + {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{2}=+\infty }

A mínusz végtelenbe divergálást (konvergálást) hasonlóan értelmezzük.

Források

  • Analízis lépésről-lépésre - Konvergens, divergens sorozatok. Dr. Stettner Eleonóra, Kaposvári Egyetem (2014)
  • Sorozatok - Farkas István, DEATC GazdaságelemzésiésStatisztikaiTanszék
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap