Basel-probléma

 Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont!
Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A matematikában a Basel-probléma az analízis egy híres problémája, melyet Pietro Mengoli (1626–1686) olasz matematikus vetett fel 1644-ben, és Leonhard Euler (1707–1786) svájci matematikus oldott meg először 1735-ben. A problémát Euler általánosította, és az ötlet alapján Bernhard Riemann (1826–1866) német matematikus definiálta a zéta-függvényt (Riemann-féle zéta-függvény), és levezette alapvető tulajdonságait.

A problémát azért hívják „Basel”-nek, mert első megoldója, Euler, itt született, valamint a nevezetes Bernoulli család is innen származik, akik nem tudtak megbirkózni ezzel a problémával. Az alapvető kérdés az volt, hogy vajon a

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

kifejezés konvergens, és ha igen, akkor mi az értéke?

Ha sorbafejtjük, akkor a

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → + ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}

végtelen sort kapjuk a természetes számok négyzetei reciprokainak összegére, melynek közelítő értéke: 1,644934.[1]

A Basel-probléma azt kérdezi, hogy létezik-e egy zárt formula a kifejezésre, és mennyi az egzakt érték. Euler megtalálta a pontos értéket: π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} , és levezette az eredményt 1735-ben. A szigorúan precíz bizonyítást 1741-ben publikálta.[2] Utána még számos matematikus foglalkozott a témával, és produkált különféle bizonyításokat.

Euler megoldása

Euler eredeti levezetése igazolást igényelt. Ez meg is történt 100 évvel később, amikor Weierstrass bebizonyította Euler levezetését (Weierstrass-féle faktorizációs tétel).

Kövessük Euler gondolatmenetét: A szinusz függvény Taylor-sora:

sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ . {\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}

x-szel elosztva mindkét oldalt:

sin ⁡ ( x ) x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ . {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}

A sin(x)/x (sinc-függvény) az x tengely metszésénél x = n ⋅ π {\displaystyle x=n\cdot \pi } ahol n = ± 1 , ± 2 , ± 3 , … . {\displaystyle n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \,.} Tegyük fel, hogy ezt a végtelen sort ki tudjuk fejezni lineáris tényezők szorzataként, figyelembe véve x zéró helyeit, ahogy véges polinomok esetén tesszük:

sin ⁡ ( x ) x = ( 1 − x π ) ( 1 + x π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) ⋯ = ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 4 π 2 ) ( 1 − x 2 9 π 2 ) ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&{}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .\end{aligned}}}

Ha kiszorozzuk és felírjuk az x2 tényezőket, akkor a sin(x)/x x2-es tényezőire kapjuk:

− ( 1 π 2 + 1 4 π 2 + 1 9 π 2 + ⋯ ) = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}

mivel az eredeti végtelen sorban az x2 együtthatója: -1/(3!) = -1/6, a két együtthatónak egyenlőnek kell lenni, és így:

− 1 6 = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}

Mindkét oldalt megszorozva − π 2 {\displaystyle -\pi ^{2}} -tel, kapjuk a végeredményt

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Irodalom

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  
  • Derbyshire, John: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. (hely nélkül): Joseph Henry Press. 2003. ISBN 0-309-08549-7  

Kapcsolódó szócikkek

Források

  1. ↑ Archivált másolat. [2013. április 30-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. április 8.)
  2. ↑ Archivált másolat. [2007. október 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. április 8.)