Banach fixponttétele

A Banach-féle fixponttétel azt mondja, hogy teljes metrikus térben minden kontrakciónak („távolságzsugorító függvénynek”) létezik pontosan egy fixpontja. A tétel jelentőségét az adja, hogy az analízis olyan alapvető tételeinek, mint az inverzfüggvény-tétel, vagy Picard-Lindelöf-tétel, a bizonyítása Banach fixponttételén múlik. A tétel eredeti bizonyítása maga is konstruktív, vagyis a fixpontnak nemcsak a létezését bizonyítja, de az konkrétan (legalábbis határértékként) meg is adható, sőt, a kapott sorozat konvergenciasebessége is jól becsülhető, így a tétel jól alkalmazható a numerikus matematikában is. A tétel a nevét Stefan Banachról kapta (1892-1945), aki 1922-ben publikálta.

A tétel

Azokat a Lipschitz-függvényeket, amiknek a Lipschitz-konstansa kisebb mint egy, kontrakciónak nevezzük, tehát f : X → X {\displaystyle f:X\to X} kontrakció, ha van olyan L<1, hogy minden X-beli x-re és y-ra:

d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ L ⋅ d ( x , y ) {\displaystyle d(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)}

Banach fixponttétele. Legyen X egy nem üres, teljes metrikus tér és f:X→X kontrakció. Ekkor pontosan egy olyan x* van X-ben, amire f(x*)=x*.

Bizonyítás

Minden kontrakciónak legfeljebb egy fixpontja van. Legyen ugyanis x és y f kontrakció két fixpontja. Ekkor x és y távolsága ugyanakkora, mint f(x) és f(y) távolsága, de alkalmas L egynél kisebb Lipschitz-konstansra:

d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ L d ( x , y ) {\displaystyle d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)} ,

amiből kapjuk, hogy d(x,y)=0, amivel a fixpont unicitását igazoltuk.

Legyen x 0 {\displaystyle x_{0}} X tetszőleges eleme, és definiáljuk rekurzióval az x n + 1 := f ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}:=f(x_{n})} sorozatot, erről fogjuk belátni, hogy konvergens, és a határértéke fixpontja f-nek. Először is tegyük fel, hogy x n {\displaystyle x_{n}} sorozat konvergens, és határértéke x*. Mivel f Lipschitz, folytonos, így az átviteli elvet alkalmazva:

lim n f ( x n ) = f ( x ∗ ) {\displaystyle \lim \limits _{n}f(x_{n})=f(x^{*})}

Tekintve, hogy f ( x n ) = x n + 1 {\displaystyle f(x_{n})=x_{n+1}} , a bal oldali határérték is x*, így x* valóban fixpont. Csak azt kell megmutatnunk, hogy x n {\displaystyle x_{n}} sorozat konvergens. Teljes indukcióval rögtön adódik, hogy:

d ( x n , x n + 1 ) ≤ L n d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})\leq L^{n}d(x_{0},x_{1})}

Legyen n<m. A háromszög-egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy

d ( x n , x m ) ≤ d ( x n , x n + 1 ) + … + d ( x m − 1 , x m ) {\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n+1})+\ldots +d(x_{m-1},x_{m})}

ahol a jobb oldalt az előző becsléssel felülről becsülhetjük:

d ( x n , x n + 1 ) + … + d ( x m − 1 , x m ) ≤ ( L n + … + L m − 1 ) d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})+\ldots +d(x_{m-1},x_{m})\leq (L^{n}+\ldots +L^{m-1})d(x_{0},x_{1})}

Alkalmazva a mértani sorozat összegképletét:

d ( x n , x m ) ≤ L n 1 − L m − n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq L^{n}{\frac {1-L^{m-n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1})}

mivel 1 − L m − n < 1 {\displaystyle 1-L^{m-n}<1} , a jobb oldal ismét felülről becsülhető:

L n 1 − L m − n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) ≤ L n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle L^{n}{\frac {1-L^{m-n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1})\leq {\frac {L^{n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1})}

Legyen ε>0 tetszőleges, és N olyan, hogy

L N 1 − L d ( x 0 , x 1 ) < ε {\displaystyle {\frac {L^{N}}{1-L}}d(x_{0},x_{1})<\varepsilon }

Ha N<n<m, akkor az előző becslést alkalmazva

d ( x n , x m ) ≤ L n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) , {\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {L^{n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1}),}

ahol a jobb oldal a feltételek szerint:

L n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) < L N 1 − L d ( x 0 , x 1 ) , {\displaystyle {\frac {L^{n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1})<{\frac {L^{N}}{1-L}}d(x_{0},x_{1}),}

azaz

d ( x n , x m ) < ε , {\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon ,}

tehát x n {\displaystyle x_{n}} Cauchy-sorozat, és a tér Banach, így a sorozat konvergens, amivel a bizonyítást befejeztük.

Konvergenciasebesség

A bizonyításnál felhasznált sorozat konvergenciasebességére a bizonyításból is kiolvasható, hogy

d ( x n , x ∗ ) ≤ L n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) . {\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {L^{n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1}).}

Mint láttuk,

d ( x n , x m ) ≤ L n 1 − L d ( x 0 , x 1 ) , {\displaystyle d(x_{n},x^{m})\leq {\frac {L^{n}}{1-L}}d(x_{0},x_{1}),}

és mivel a jobb oldal független m-től, m-mel tartva a végtelenhez, kapjuk a becslést.

Alkalmazások

  • A tétel egyik legfontosabb alkalmazása a Picard-Lindelöf-tétel bizonyítása, ami bizonyos közönséges differenciálegyenletek megoldásának egyértelmű létezéséről szól. A bizonyítás során a differenciálegyenlet keresett megoldását egy olyan alkalmas integráloperátor fixpontjaként állítjuk elő, ami folytonos függvényeket folytonos függvényekbe visz. A Banach-fixponttétellel a fixpont egyértelműségét igazoljuk.
  • A fixponttétel másik fontos következménye, hogy az identitás kicsiny Lipschitz-perturbációi bilipschitz homeomorfizmusok. Ez utóbbi ténynek közvetlen folyománya az inverzfüggvény-tétel.
  • A numerikus analízisben a gyökközelítő módszerek tekintélyes osztályát adják az úgynevezett fixpontiterációs módszerek, amelyek azon az elven nyugszanak, hogy az f(x)=0 gyökét egy olyan alkalmas függvény fixpontjaként állítják elő, ami a keresett gyök valamilyen környezetén kontrakció. Ezen módszerek tipikus példája elég sima függvényekre a Newton-módszer és lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldására a Jacobi-iteráció.

„Beragadt” koszinuszgomb

A Banach-féle fixponttétel érdekes közvetlen alkalmazása a következő feladat: mi történik, ha egy tetszőleges számra a számológéppel egymás után sokszor alkalmazzuk a koszinusz függvényt? Legyen x0 tetszőleges valós szám, cos x0 ekkor már [-1,1] intervallumba esik. Ezen az intervallumon a koszinusz kontrakció, lévén a deriváltja abszolút értékének a korlátja sin 1 < 1, így létezik fixpontja. A fixponttétel bizonyításakor használt sorozat épp a koszinusz iterálása, amiről beláttuk, hogy koszinusz fixpontjához tart, így bármely számról is indulunk, a koszinusz gomb kitartó nyomkodásával a cos x=x egyenlet egyetlen gyökét közelítjük.

Kapcsolódó szócikkek

Források

  • Rudin, W. : A matematikai analízis alapjai; Műszaki Könyvkiadó, 1978
  • Komornik Vilmos: Valós analízis előadások, TypoTEX, 2003